Definition und Gleichung

Die Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und den Halbachsen \(a\) und \(b\) hat die Gleichung:

Ellipsengleichung (Normalform)
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

\(a\) = große Halbachse (auf der \(x\)-Achse), \(b\) = kleine Halbachse (auf der \(y\)-Achse), \(a > b > 0\)

Eigenschaften der Ellipse

Scheitel: \(S_1(a|0)\), \(S_2(-a|0)\), \(S_3(0|b)\), \(S_4(0|-b)\)

Symmetrie: Die Ellipse ist achsensymmetrisch zur \(x\)- und \(y\)-Achse sowie punktsymmetrisch zum Ursprung.

Brennpunkte und Exzentrizität

Die Brennpunkte \(F_1\) und \(F_2\) liegen auf der großen Achse. Für jeden Punkt \(P\) der Ellipse gilt:

Brennpunkte
\(F_1(-e|0), \quad F_2(e|0) \quad \text{mit} \quad e = \sqrt{a^2 - b^2}\)

Brennpunktseigenschaft: \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) für alle Punkte \(P\) auf der Ellipse

Die Exzentrizität (numerische Exzentrizität) gibt an, wie stark die Ellipse vom Kreis abweicht:

Exzentrizität
\(\varepsilon = \frac{e}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)

\(0 \leq \varepsilon < 1\). Für \(\varepsilon = 0\) ist die Ellipse ein Kreis.

Beispiel: Brennpunkte bestimmen

Bestimme die Brennpunkte der Ellipse \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).

1
\(a^2 = 25 \implies a = 5\), \(b^2 = 9 \implies b = 3\)
2
\(e = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\)
3
Brennpunkte: \(F_1(-4|0)\) und \(F_2(4|0)\)

Die Exzentrizität beträgt \(\varepsilon = \frac{4}{5} = 0{,}8\).

Verschobene Ellipse

Eine Ellipse mit Mittelpunkt \(M(h|k)\) hat die Gleichung:

Verschobene Ellipse
\(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)
Beispiel: Verschobene Ellipse

Bestimme Mittelpunkt und Halbachsen von \(\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1\).

1
Mittelpunkt: \(M(2|-1)\)
2
\(a = 4\) (große Halbachse), \(b = 2\) (kleine Halbachse)

Tipp: Die Erde bewegt sich auf einer Ellipse um die Sonne. Die Sonne steht in einem der Brennpunkte (1. Kepler'sches Gesetz).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welche Halbachsen hat die Ellipse \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wie berechnet man den Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt bei der Ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)?

Aufgabe 3 Mittel

Bestimme die Brennpunkte der Ellipse \(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1\).

Aufgabe 4 Schwer

Liegt der Punkt \(P(3|2)\) innerhalb, auf oder außerhalb der Ellipse \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)?

Aufgabe 5 Schwer

Eine Ellipse hat die Brennpunkte \(F_1(-3|0)\) und \(F_2(3|0)\) und geht durch den Punkt \(P(5|0)\). Wie lautet die Gleichung?

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