Kreisgleichung in Mittelpunktsform
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M(m_1|m_2)\) und Radius \(r\) wird durch folgende Gleichung beschrieben:
\(M(m_1|m_2)\) = Mittelpunkt, \(r\) = Radius
Für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung vereinfacht sich die Gleichung zu:
Allgemeine Kreisgleichung
Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form:
Mit \(D = -2m_1\), \(E = -2m_2\), \(F = m_1^2 + m_2^2 - r^2\)
Umgekehrt findet man Mittelpunkt und Radius durch quadratische Ergänzung:
Bestimme Mittelpunkt und Radius von \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
Mittelpunkt \(M(2|-3)\), Radius \(r = 4\).
Tangente an den Kreis
Die Tangente an einen Kreis im Punkt \(P(x_0|y_0)\) steht senkrecht auf dem Radius \(\overline{MP}\).
Für den Kreis \((x-m_1)^2 + (y-m_2)^2 = r^2\) im Punkt \(P(x_0|y_0)\)
Bestimme die Tangente an den Kreis \(x^2 + y^2 = 25\) im Punkt \(P(3|4)\).
Tipp: Prüfe bei der allgemeinen Form immer, ob die Koeffizienten von \(x^2\) und \(y^2\) gleich sind und kein \(xy\)-Term vorkommt. Nur dann handelt es sich um einen Kreis.
Übungen
Welchen Radius hat der Kreis \(x^2 + y^2 = 49\)?
Wie lautet die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(1|3)\) und Radius \(r = 5\)?
Bestimme Mittelpunkt und Radius von \(x^2 + y^2 + 2x - 4y = 4\).
Wie lautet die Tangente an den Kreis \(x^2 + y^2 = 25\) im Punkt \(P(4|3)\)?
Ein Kreis geht durch die Punkte \(A(0|0)\), \(B(4|0)\) und \(C(0|4)\). Welchen Radius hat er?