Definition und Gleichung
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist.
\(a\) = reelle Halbachse, \(b\) = imaginäre Halbachse
Eigenschaften
Scheitelpunkte: \(S_1(a|0)\) und \(S_2(-a|0)\)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(x\)- und \(y\)-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung
Definitionsbereich: \(x \leq -a\) oder \(x \geq a\)
Asymptoten
Die Hyperbel nähert sich für große \(|x|\)-Werte zwei Geraden, den Asymptoten:
Die Asymptoten gehen durch den Mittelpunkt und sind Diagonalen des Asymptoten-Rechtecks mit Seitenlängen \(2a\) und \(2b\).
Brennpunkte
Die Brennpunkte liegen auf der reellen Achse:
Brennpunktseigenschaft: \(\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a\)
Bestimme Scheitelpunkte, Asymptoten und Brennpunkte von \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\).
Die gleichseitige Hyperbel hat \(a = b\), also \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) mit den Asymptoten \(y = \pm x\).
Tipp: Im Unterschied zur Ellipse gilt bei der Hyperbel \(e = \sqrt{a^2 + b^2}\) (Pluszeichen!), und die Exzentrizität ist \(\varepsilon = \frac{e}{a} > 1\).
Übungen
Welche Asymptoten hat die Hyperbel \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)?
Wie berechnet man die Brennweite \(e\) bei der Hyperbel?
Bestimme die Brennpunkte der Hyperbel \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\).
Eine Hyperbel hat die Brennpunkte \(F_1(-5|0)\) und \(F_2(5|0)\). Für jeden Punkt auf der Hyperbel gilt \(\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 6\). Wie lautet die Gleichung?