Die Parameterform einer Geraden

Eine Gerade in \(\mathbb{R}^3\) wird durch einen Aufpunkt (Stützpunkt) \(A\) und einen Richtungsvektor \(\vec{v}\) festgelegt:

Parameterdarstellung
\(g: \vec{X} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}\)

\(\vec{a}\) = Ortsvektor des Aufpunkts, \(\vec{v}\) = Richtungsvektor, \(t\) = Parameter

Durch Einsetzen verschiedener Werte für den Parameter \(t\) erhält man alle Punkte der Geraden.

Aufpunkt und Richtungsvektor

Der Aufpunkt \(A\) ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) gibt die Richtung der Geraden an. Jedes Vielfache von \(\vec{v}\) (ungleich \(\vec{0}\)) ist ebenfalls ein gültiger Richtungsvektor.

Geradengleichung aufstellen

Sind zwei Punkte \(A\) und \(B\) gegeben, so kann man die Geradengleichung direkt aufstellen:

Gerade durch zwei Punkte
\(g: \vec{X} = \vec{a} + t \cdot \vec{AB}, \quad t \in \mathbb{R}\)

mit \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)

Beispiel: Geradengleichung aufstellen

Stelle die Gleichung der Geraden durch \(A(1|2|3)\) und \(B(4|0|1)\) auf.

1
Richtungsvektor: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\)
2
\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt \(P\) auf einer Geraden \(g\) liegt, setzt man die Koordinaten von \(P\) in die Geradengleichung ein und prüft, ob ein einheitlicher Parameterwert \(t\) existiert.

Beispiel: Punktprobe

Liegt \(P(7|-2|-1)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\)?

1
Gleichungssystem: \(1 + 3t = 7\), \(2 - 2t = -2\), \(3 - 2t = -1\)
2
Aus der 1. Gleichung: \(t = 2\). Probe: \(2 - 2 \cdot 2 = -2\) ✓ und \(3 - 2 \cdot 2 = -1\) ✓
3
Alle Gleichungen ergeben \(t = 2\), also liegt \(P\) auf \(g\).

Besondere Punkte auf der Geraden

Für bestimmte Parameterwerte erhält man spezielle Punkte:

  • \(t = 0\): den Aufpunkt \(A\)
  • \(t = 1\): den Punkt \(A + \vec{v}\) (bei Gerade durch \(A\) und \(B\) ist das der Punkt \(B\))
  • \(t = 0{,}5\): den Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\)

Tipp: Die Parameterdarstellung ist nicht eindeutig. Dieselbe Gerade kann mit verschiedenen Aufpunkten und Richtungsvektoren beschrieben werden. Zwei Darstellungen beschreiben dieselbe Gerade, wenn der Aufpunkt der einen auf der anderen liegt und die Richtungsvektoren kollinear sind.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welcher Punkt liegt auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) für \(t = 3\)?

Aufgabe 2 Leicht

Bestimme den Richtungsvektor der Geraden durch \(A(2|1|4)\) und \(B(5|3|1)\).

Aufgabe 3 Mittel

Liegt der Punkt \(P(5|1|1)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 4 Mittel

Berechne den Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\) mit \(A(2|4|6)\) und \(B(6|0|2)\).

Aufgabe 5 Schwer

Welche Geradengleichung beschreibt nicht dieselbe Gerade wie \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 5 richtig