Die Parameterform

Eine Gerade \(g\) im \(\mathbb{R}^3\) wird durch die Parameterform beschrieben:

Parameterform der Geraden
\(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}, \quad t \in \mathbb{R}\)

\(\vec{p}\) = Stützvektor (Aufpunkt), \(\vec{r}\) = Richtungsvektor, \(t\) = Parameter

In Komponentenschreibweise:

Komponentenform
\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}\)

Bedeutung des Parameters

  • Für \(t = 0\) erhält man den Aufpunkt \(P\)
  • Für \(t = 1\) erhält man den Punkt \(P + \vec{r}\)
  • Jeder Wert von \(t\) ergibt einen anderen Punkt auf der Geraden

Gerade durch zwei Punkte

Gegeben zwei Punkte \(A\) und \(B\). Die Gerade durch diese Punkte lautet:

Gerade durch zwei Punkte
\(g: \vec{X} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + t \cdot \vec{AB}\)

Stützvektor = \(\vec{a}\), Richtungsvektor = \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)

Beispiel: Geradengleichung aufstellen

Stelle die Gleichung der Geraden durch \(A(1|3|2)\) und \(B(4|1|5)\) auf.

1
Richtungsvektor: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
2
\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt \(Q\) auf einer Geraden liegt, setzt man seine Koordinaten ein und prüft, ob es ein einheitliches \(t\) gibt:

Beispiel: Punktprobe

Liegt \(Q(7|-1|8)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)?

1
Gleichungssystem: \(1 + 3t = 7\), \(3 - 2t = -1\), \(2 + 3t = 8\)
2
Aus (1): \(t = 2\). Aus (2): \(t = 2\). Aus (3): \(t = 2\).
3
Alle drei Gleichungen ergeben \(t = 2\). Also liegt \(Q\) auf \(g\).

Verschiedene Darstellungen derselben Geraden

Eine Gerade hat unendlich viele Parameterdarstellungen:

  • Man kann jeden Punkt der Geraden als Stützvektor wählen
  • Der Richtungsvektor kann mit jedem Skalar \(k \neq 0\) multipliziert werden

Tipp: Zwei Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind und der Stützvektor der einen Geraden auf der anderen liegt.

Besondere Geraden

Die Koordinatenachsen sind besondere Geraden im \(\mathbb{R}^3\):

Koordinatenachsen

\(x\)-Achse: \(\vec{X} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(y\)-Achse: \(\vec{X} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(z\)-Achse: \(\vec{X} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welcher Punkt liegt auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) für \(t = 3\)?

Aufgabe 2 Leicht

Stelle die Geradengleichung durch \(A(0|0|0)\) und \(B(2|4|6)\) auf. Was ist der Richtungsvektor?

Aufgabe 3 Mittel

Liegt der Punkt \(P(3|5|1)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 4 Mittel

Bestimme die Geradengleichung durch \(A(2|1|-3)\) und \(B(5|4|0)\).

Aufgabe 5 Schwer

Für welchen Wert von \(a\) liegt der Punkt \(P(4|a|7)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)?

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