Abstandsformel mit dem Kreuzprodukt

Die schnellste Methode zur Berechnung des Abstands eines Punktes \(P\) von einer Geraden \(g: \vec{X} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}\) verwendet das Kreuzprodukt:

Abstand Punkt-Gerade
\(d(P, g) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)

\(A\) = Aufpunkt der Geraden, \(\vec{v}\) = Richtungsvektor, \(P\) = gegebener Punkt

Geometrische Deutung

Der Betrag des Kreuzprodukts \(|\vec{AP} \times \vec{v}|\) entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von \(\vec{AP}\) und \(\vec{v}\) aufgespannt wird. Division durch die Grundseite \(|\vec{v}|\) ergibt die Höhe, also den gesuchten Abstand.

Beispiel: Abstand mit Kreuzprodukt-Formel

Berechne den Abstand von \(P(1|2|3)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{AP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
3
\(d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{0 + 9 + 4}}{1} = \sqrt{13}\)

Lotfußpunktverfahren

Beim Lotfußpunktverfahren bestimmt man den Punkt \(F\) auf der Geraden, der dem Punkt \(P\) am nächsten liegt. Die Verbindung \(\vec{FP}\) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec{v}\).

Bedingung für den Lotfußpunkt
\(\vec{FP} \cdot \vec{v} = 0\)

mit \(F = A + t_0 \cdot \vec{v}\) und \(\vec{FP} = \vec{p} - \vec{a} - t_0 \cdot \vec{v}\)

Beispiel: Lotfußpunktverfahren

Bestimme den Lotfußpunkt und den Abstand von \(P(3|1|2)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

1
Lotfußpunkt: \(F = \begin{pmatrix} 1+t \\ t \\ 1 \end{pmatrix}\), also \(\vec{FP} = \begin{pmatrix} 2-t \\ 1-t \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
Bedingung: \(\vec{FP} \cdot \vec{v} = (2-t) \cdot 1 + (1-t) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3 - 2t = 0\), also \(t = \frac{3}{2}\)
3
\(F = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{FP} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}\)
4
\(d = |\vec{FP}| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Vergleich der Methoden

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Welche man wählt, hängt von der Aufgabenstellung ab:

  • Kreuzprodukt-Formel: Schneller, wenn nur der Abstand gefragt ist
  • Lotfußpunktverfahren: Notwendig, wenn auch der Lotfußpunkt bestimmt werden soll

Tipp: Liegt der Punkt bereits auf der Geraden, ist der Abstand \(0\). Das erkennst du daran, dass das Kreuzprodukt \(\vec{AP} \times \vec{v} = \vec{0}\) ergibt.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne den Abstand von \(P(0|3|0)\) zur \(x\)-Achse (also zur Geraden \(g: \vec{X} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)).

Aufgabe 2 Leicht

Berechne den Abstand von \(P(0|0|4)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Berechne den Abstand von \(P(1|1|1)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Mittel

Bestimme den Lotfußpunkt von \(P(3|0|0)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 5 Schwer

Berechne den Abstand von \(P(2|3|1)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

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