Die Normalvektorform

Ein Punkt \(\vec{X}\) liegt genau dann in einer Ebene, wenn der Vektor von einem Aufpunkt \(\vec{p}\) zu \(\vec{X}\) senkrecht auf dem Normalvektor \(\vec{n}\) steht:

Normalvektorform
\(E: \vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{p}) = 0\)

\(\vec{n}\) = Normalvektor (steht senkrecht auf der Ebene), \(\vec{p}\) = Aufpunkt

Normalvektor bestimmen

Aus der Parameterform \(E: \vec{X} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}\) erhält man den Normalvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)

Die Koordinatenform

Multipliziert man die Normalvektorform aus, erhält man die Koordinatenform:

Koordinatenform
\(E: ax + by + cz = d\)

wobei \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) der Normalvektor ist und \(d = \vec{n} \cdot \vec{p}\)

Beispiel: Von der Parameterform zur Koordinatenform

Gegeben: \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1
Normalvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(d = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\)
3
\(E: x + y + z = 1\)

Umrechnungen zwischen den Formen

Umrechnungsübersicht

Parameterform → Koordinatenform:

1. \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) berechnen

2. \(d = \vec{n} \cdot \vec{p}\) berechnen

3. \(ax + by + cz = d\) aufschreiben

 

Koordinatenform → Normalvektorform:

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\), einen Punkt \(\vec{p}\) finden (z.B. \(x = \frac{d}{a}\), \(y = z = 0\))

 

Koordinatenform → Parameterform:

Drei Punkte bestimmen und Parameterform aufstellen

Beispiel: Koordinatenform → Parameterform

Wandle \(2x + 3y + z = 6\) in Parameterform um.

1
Drei Punkte finden: \(A(3|0|0)\), \(B(0|2|0)\), \(C(0|0|6)\)
2
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\)
3
\(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Eigenschaften des Normalvektors

  • Der Normalvektor steht senkrecht auf jedem Vektor in der Ebene
  • Er ist nicht eindeutig: Jedes Vielfache \(k \cdot \vec{n}\) (\(k \neq 0\)) ist ebenfalls ein Normalvektor
  • In der Koordinatenform \(ax + by + cz = d\) ist \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) direkt der Normalvektor

Tipp: Die Koordinatenform ist besonders praktisch für Punktproben: Man setzt einfach die Koordinaten ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist. Keine Parameter nötig!

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welcher Normalvektor gehört zur Ebene \(3x - 2y + z = 5\)?

Aufgabe 2 Leicht

Liegt der Punkt \(P(1|1|1)\) in der Ebene \(x + y + z = 3\)?

Aufgabe 3 Mittel

Bestimme den Normalvektor der Ebene mit den Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Schwer

Wandle die Ebene \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) in Koordinatenform um.

Aufgabe 5 Schwer

Welche Koordinatenform hat die Ebene durch \(A(4|0|0)\), \(B(0|2|0)\), \(C(0|0|1)\)?

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