Was ist eine Ebene?
Eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\) ist eine flache, unendlich ausgedehnte Fläche. Sie wird durch einen Punkt und zwei nicht-kollineare Richtungsvektoren oder durch einen Punkt und einen Normalvektor bestimmt.
Drei Darstellungsformen
Parameterform: \(E: \vec{X} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}\)
Normalvektorform: \(\vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{p}) = 0\)
Koordinatenform: \(ax + by + cz = d\)
Darstellungsformen
Jede Darstellungsform hat ihre Stärken:
- Parameterform: Ideal zum Aufstellen aus drei Punkten und für Schnittpunktberechnungen
- Normalvektorform: Ideal für Lagebeziehungen und Abstandsberechnungen
- Koordinatenform: Kompakt und übersichtlich, leicht aus der Normalvektorform ableitbar
Lagebeziehungen
Man kann verschiedene Lagebeziehungen untersuchen:
- Gerade – Ebene: Parallel, in der Ebene, oder schneidend
- Ebene – Ebene: Parallel, identisch, oder schneidend (Schnittgerade)