Parallelität erkennen

Zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear sind:

Parallelitätsbedingung
\(E_1 \parallel E_2 \iff \vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2 \quad (k \neq 0)\)

Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander.

In Koordinatenform: \(E_1: ax + by + cz = d_1\) und \(E_2: ax + by + cz = d_2\) sind parallel (gleiche Koeffizienten bei \(x\), \(y\), \(z\)).

Abstand berechnen

Der Abstand paralleler Ebenen wird in zwei Schritten bestimmt:

Vorgehensweise

1. Wähle einen beliebigen Punkt \(P\) auf Ebene \(E_1\)

2. Berechne den Abstand \(d(P, E_2)\) mit der Punkt-Ebene-Formel

Sind die Ebenen in Koordinatenform mit gleichen Koeffizienten gegeben, so vereinfacht sich die Formel:

Abstand bei gleichen Koeffizienten
\(d(E_1, E_2) = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

Für \(E_1: ax + by + cz = d_1\) und \(E_2: ax + by + cz = d_2\)

Beispiel: Abstand mit vereinfachter Formel

Berechne den Abstand der parallelen Ebenen \(E_1: 2x + y - 2z = 3\) und \(E_2: 2x + y - 2z = 9\).

1
Gleiche Koeffizienten: \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -2\), \(d_1 = 3\), \(d_2 = 9\)
2
\(d = \frac{|3 - 9|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3} = 2\)

Der Abstand beträgt \(d = 2\).

Beispiel: Punkt wählen

Berechne den Abstand von \(E_1: x + 2y + 2z = 6\) und \(E_2: 2x + 4y + 4z = 2\).

1
Umschreiben: \(E_2: x + 2y + 2z = 1\) (durch 2 dividieren)
2
\(d = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{5}{3}\)

Der Abstand beträgt \(d = \frac{5}{3}\).

Wichtig

Bevor man den Abstand berechnet, muss man sicherstellen, dass die Ebenen tatsächlich parallel und nicht identisch sind. Identische Ebenen haben den Abstand 0.

Tipp: Bringe beide Ebenen auf dieselben Koeffizienten vor \(x\), \(y\), \(z\), um die vereinfachte Formel anwenden zu können.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wann sind zwei Ebenen parallel?

Aufgabe 2 Mittel

Berechne den Abstand der Ebenen \(E_1: x - 2y + 2z = 7\) und \(E_2: x - 2y + 2z = 1\).

Aufgabe 3 Mittel

Sind die Ebenen \(E_1: 3x + 6y - 3z = 9\) und \(E_2: x + 2y - z = 5\) parallel?

Aufgabe 4 Schwer

Die Ebenen \(E_1: 2x + y + 2z = 1\) und \(E_2: 2x + y + 2z = d_2\) haben den Abstand \(4\). Welche Werte kann \(d_2\) annehmen?

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