Überblick
Die Berechnung von Abständen und Winkeln gehört zu den wichtigsten Aufgaben der analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum. Die grundlegenden Werkzeuge dafür sind:
- Betrag eines Vektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)
- Skalarprodukt: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
- Kreuzprodukt: \(\vec{a} \times \vec{b}\) für Normalenvektoren
Abstandsberechnungen
Je nach Ausgangssituation gibt es verschiedene Methoden zur Abstandsberechnung:
Punkt–Punkt: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Punkt–Ebene: \(d = \frac{|\vec{n} \cdot (\vec{P} - \vec{A})|}{|\vec{n}|}\)
Windschiefe Geraden: \(d = \frac{|\vec{n} \cdot (\vec{A_2} - \vec{A_1})|}{|\vec{n}|}\) mit \(\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}\)
Winkelberechnungen
Schnittwinkel werden mithilfe des Skalarprodukts bestimmt. Je nach Objekten gibt es unterschiedliche Formeln:
Gerade–Gerade: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\)
Gerade–Ebene: \(\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}\)
Ebene–Ebene: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)