Definition
Die Tangensfunktion ist definiert als Quotient von Sinus und Cosinus:
Definiert für alle \(x\) mit \(\cos(x) \neq 0\)
Am Einheitskreis: Der Tangens entspricht der Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt \((\cos(x) \mid \sin(x))\) auf dem Einheitskreis. Geometrisch ist es die Länge des Abschnitts auf der Tangente am Punkt \((1 \mid 0)\).
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\tan(x)\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\) | \(1\) | \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) | n. d. |
Bei \(x = \frac{\pi}{2}\) ist \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), daher ist \(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\) nicht definiert.
Polstellen
An den Stellen, wo \(\cos(x) = 0\) ist, hat die Tangensfunktion Polstellen (senkrechte Asymptoten):
Also bei \(\ldots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots\)
Verhalten an den Polstellen:
- Von links: \(\tan(x) \to +\infty\) (bei \(x \to \frac{\pi}{2}^-\))
- Von rechts: \(\tan(x) \to -\infty\) (bei \(x \to \frac{\pi}{2}^+\))
Der Graph „springt" von \(+\infty\) auf \(-\infty\).
Eigenschaften
| Eigenschaft | Tangens | Sinus (zum Vergleich) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Wertemenge | \(\mathbb{R}\) | \([-1, 1]\) |
| Periode | \(\pi\) | \(2\pi\) |
| Symmetrie | ungerade: \(\tan(-x) = -\tan(x)\) | ungerade |
| Nullstellen | \(x = k\pi\) | \(x = k\pi\) |
| Monotonie | streng steigend (je Ast) | nicht monoton |
Tipp: Die Tangensfunktion hat die Periode \(\pi\) (nicht \(2\pi\)). Das bedeutet: \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\) für alle \(x\) im Definitionsbereich.
Graphverlauf
Der Graph der Tangensfunktion besteht aus unendlich vielen Ästen, die durch die Polstellen getrennt sind:
Charakteristik eines Astes (z. B. im Intervall \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)):
- Beginnt bei \(-\infty\) (linke Polstelle)
- Geht durch den Ursprung \((0 \mid 0)\)
- Steigt streng monoton
- Endet bei \(+\infty\) (rechte Polstelle)
- Hat einen Wendepunkt bei der Nullstelle
Übungen
Welchen Wert hat \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\)?
Welche Periode hat die Tangensfunktion?
Wo liegt die nächste Polstelle von \(\tan(x)\) rechts von \(x = 0\)?
Welchen Wertebereich hat die Tangensfunktion?