Definition am Einheitskreis
Der Sinus eines Winkels \(\alpha\) ist am Einheitskreis als die y-Koordinate des zugehörigen Punktes definiert:
Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \(P = (\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))\). Wenn man den Winkel \(\alpha\) von 0 bis \(2\pi\) laufen lässt und die y-Koordinate aufträgt, erhält man den Graph der Sinusfunktion.
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
Graph und Verlauf
Der Graph von \(f(x) = \sin(x)\) ist eine Sinuskurve (Wellenlinie):
Verlauf einer Periode \([0, 2\pi]\):
- Start bei \((0 \mid 0)\)
- Steigt auf Maximum \((\frac{\pi}{2} \mid 1)\)
- Fällt zurück auf \((\pi \mid 0)\)
- Fällt weiter auf Minimum \((\frac{3\pi}{2} \mid -1)\)
- Steigt zurück auf \((2\pi \mid 0)\)
Eigenschaften
Wertemenge: \(W = [-1, 1]\)
Periode: \(T = 2\pi\), d. h. \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)
Amplitude: \(A = 1\)
Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion)
Nullstellen: \(x = n \cdot \pi\) für \(n \in \mathbb{Z}\), also \(\ldots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \ldots\)
Maxima: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) mit Wert \(1\)
Minima: \(x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\) (bzw. \(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\)) mit Wert \(-1\)
Ungerade Funktion: \(\sin(-x) = -\sin(x)\). Das bedeutet: Spiegelung am Ursprung ergibt denselben Graphen.
Ableitung
Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus:
\(\frac{d}{dx}\, \cos(x) = -\sin(x)\)
\(\frac{d}{dx}\, \sin(kx) = k \cdot \cos(kx)\) (Kettenregel)
Merkregel: Leite viermal hintereinander ab: \(\sin(x) \to \cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \sin(x)\). Nach vier Ableitungen ist man wieder beim Sinus!
Übungen
Welchen Wert hat \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\)?
Welche Wertemenge hat \(f(x) = \sin(x)\)?
Wo hat \(\sin(x)\) im Intervall \([0, 2\pi]\) Nullstellen?
Was ist die Ableitung von \(f(x) = \sin(x)\)?
Welche Aussage über \(\sin(-x)\) stimmt?