Definition und Graph
Die Cosinusfunktion ordnet jedem Winkel \(x\) (im Bogenmaß) die x-Koordinate des zugehörigen Punktes am Einheitskreis zu.
Am Einheitskreis: \(\cos(\alpha)\) = x-Koordinate des Punktes
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos(x)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
Eigenschaften
Eigenschaften von \(f(x) = \cos(x)\):
- Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R}\)
- Wertemenge: \(W = [-1, 1]\)
- Periode: \(T = 2\pi\), d. h. \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)
- Symmetrie: gerade Funktion, d. h. \(\cos(-x) = \cos(x)\) (achsensymmetrisch zur y-Achse)
- Nullstellen: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)
- Maximum: \(\cos(x) = 1\) bei \(x = 2k\pi\)
- Minimum: \(\cos(x) = -1\) bei \(x = (2k+1)\pi\)
Zusammenhang mit dem Sinus
Cosinus und Sinus sind durch eine einfache Phasenverschiebung verbunden:
\(\sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\)
Der Cosinus-Graph ist der Sinus-Graph, um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschoben.
Gilt für alle \(x \in \mathbb{R}\)
Tipp: Mit dem trigonometrischen Pythagoras kann man \(\cos(x)\) aus \(\sin(x)\) berechnen (und umgekehrt): \(\cos(x) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(x)}\). Das Vorzeichen hängt vom Quadranten ab.
Allgemeine Cosinusfunktion
Die allgemeine Form erlaubt Veränderungen von Amplitude, Periode, Phase und vertikaler Verschiebung:
\(|a|\) = Amplitude, \(T = \frac{2\pi}{|b|}\) = Periode, \(-\frac{c}{b}\) = Phasenverschiebung, \(d\) = vertikale Verschiebung
\(f(x) = 3 \cdot \cos(2x) + 1\)
- Amplitude: \(|a| = 3\)
- Periode: \(T = \frac{2\pi}{2} = \pi\)
- Vertikale Verschiebung: \(d = 1\) (Mittellinie bei \(y = 1\))
- Wertebereich: \([-2, 4]\)
Übungen
Welchen Wert hat \(\cos(0)\)?
Die Cosinusfunktion ist eine...
Welche Periode hat \(f(x) = \cos(3x)\)?
Der Graph von \(\cos(x)\) entsteht aus dem Graphen von \(\sin(x)\) durch Verschiebung um...