Der Parameter \(a\) – Amplitude
Die Amplitude ist der maximale Ausschlag der Sinuskurve:
Die Wertemenge wird zu \(W = [-|a|, |a|]\)
- \(|a| > 1\): Die Welle wird höher (vertikale Streckung)
- \(0 < |a| < 1\): Die Welle wird flacher (vertikale Stauchung)
- \(a < 0\): Die Welle wird an der x-Achse gespiegelt (startet nach unten)
| Funktion | Amplitude | Wertemenge |
|---|---|---|
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(1\) | \([-1, 1]\) |
| \(f(x) = 3\sin(x)\) | \(3\) | \([-3, 3]\) |
| \(f(x) = 0{,}5\sin(x)\) | \(0{,}5\) | \([-0{,}5;\ 0{,}5]\) |
| \(f(x) = -2\sin(x)\) | \(2\) | \([-2, 2]\) |
Der Parameter \(b\) – Periode
Der Parameter \(b\) bestimmt, wie schnell sich die Schwingung wiederholt:
Die Periode gibt die Länge einer vollständigen Schwingung an
- \(|b| > 1\): Die Periode wird kürzer – die Schwingung ist schneller (horizontale Stauchung)
- \(0 < |b| < 1\): Die Periode wird länger – die Schwingung ist langsamer (horizontale Streckung)
- \(b < 0\): Entspricht einer Spiegelung an der y-Achse (bei Sinus gleich wie \(a < 0\))
| Funktion | \(b\) | Periode \(T\) |
|---|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(1\) | \(2\pi \approx 6{,}28\) |
| \(\sin(2x)\) | \(2\) | \(\pi \approx 3{,}14\) |
| \(\sin(3x)\) | \(3\) | \(\frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\) |
| \(\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(4\pi \approx 12{,}57\) |
Graphen skizzieren
So skizzierst du den Graphen von \(f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x)\) Schritt für Schritt:
Vorgehen:
- Amplitude bestimmen: \(|a|\) ablesen → Markiere \(+|a|\) und \(-|a|\) auf der y-Achse
- Periode berechnen: \(T = \frac{2\pi}{|b|}\)
- Viertelperiode: \(\frac{T}{4}\) bestimmen → ergibt die 5 Schlüsselpunkte einer Periode
- Schlüsselpunkte einzeichnen: Start (0), Maximum, Nulldurchgang, Minimum, Ende
- Sinuskurve durch die Punkte legen
Amplitude: \(|a| = 2\)
Periode: \(T = \frac{2\pi}{3}\)
Viertelperiode: \(\frac{T}{4} = \frac{\pi}{6}\)
Schlüsselpunkte:
| Punkt | \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|
| Start | \(0\) | \(0\) |
| Maximum | \(\frac{\pi}{6}\) | \(2\) |
| Nulldurchgang | \(\frac{\pi}{3}\) | \(0\) |
| Minimum | \(\frac{\pi}{2}\) | \(-2\) |
| Ende der Periode | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(0\) |
Erweiterte Form mit Verschiebung
Die vollständige allgemeine Sinusfunktion enthält auch Verschiebungen:
\(c\) = horizontale Verschiebung (Phasenverschiebung), \(d\) = vertikale Verschiebung
- \(c > 0\): Verschiebung nach rechts
- \(c < 0\): Verschiebung nach links
- \(d > 0\): Verschiebung nach oben
- \(d < 0\): Verschiebung nach unten
Übungen
Welche Amplitude hat \(f(x) = 4\sin(x)\)?
Welche Periode hat \(f(x) = \sin(2x)\)?
Welche Wertemenge hat \(f(x) = -3\sin(x)\)?
Eine Sinusfunktion hat Amplitude 5 und Periode \(\frac{2\pi}{3}\). Welche Gleichung passt?
Wo liegt das erste Maximum von \(f(x) = 2\sin(4x)\) für \(x > 0\)?