Überblick

Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens ordnen jedem Winkel einen Zahlenwert zu. Am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) sind sie geometrisch definiert:

  • \(\sin(\alpha)\) = y-Koordinate des Punktes am Einheitskreis
  • \(\cos(\alpha)\) = x-Koordinate des Punktes am Einheitskreis
  • \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)
Fundamentale Beziehung
\(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

Gilt für jeden Winkel \(\alpha\) (trigonometrischer Pythagoras)

Gemeinsame Eigenschaften

Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch:

EigenschaftSinus \(\sin(x)\)Kosinus \(\cos(x)\)
Periode\(2\pi\)\(2\pi\)
Wertebereich\([-1, 1]\)\([-1, 1]\)
SymmetriePunktsymmetrisch (ungerade)Achsensymmetrisch (gerade)
Nullstellen\(x = n\pi\)\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
Zusammenhang\(\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\)

Bogenmaß und Gradmaß

In der Analysis wird der Winkel im Bogenmaß (Radiant) angegeben:

Umrechnung
\(x_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180°} \cdot x_{\text{Grad}}\)
Wichtige Umrechnungen
Gradmaß0°30°45°60°90°180°360°
Bogenmaß\(0\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(2\pi\)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Welchen Wert hat \(\sin(0)\)?

Aufgabe 2Leicht

Wie groß ist die Periode von \(\sin(x)\)?

Aufgabe 3Mittel

Wie viel Grad entsprechen \(\frac{\pi}{3}\) im Bogenmaß?

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