Schema der Kurvendiskussion

Eine vollständige Kurvendiskussion einer rationalen Funktion \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) umfasst diese Schritte:

Schritte der Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich \(\mathbb{D}\)

2. Symmetrie

3. Nullstellen und y-Achsenabschnitt

4. Polstellen und hebbare Lücken

5. Asymptoten (senkrecht, waagrecht, schief)

6. Ableitungen \(f'(x)\) und \(f''(x)\)

7. Extremstellen

8. Wendepunkte

9. Graph skizzieren

Definitionsbereich und Symmetrie

Der Definitionsbereich ergibt sich durch Ausschluss der Nennernullstellen. Die Symmetrie prüft man mit \(f(-x)\):

Symmetrieprüfung:

  • \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{D}\): achsensymmetrisch zur y-Achse
  • \(f(-x) = -f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{D}\): punktsymmetrisch zum Ursprung
  • Sonst: keine Symmetrie

Ableitung rationaler Funktionen

Für die Ableitung einer rationalen Funktion verwendet man die Quotientenregel:

Quotientenregel

\( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \implies f'(x) = \frac{p'(x) \cdot q(x) - p(x) \cdot q'(x)}{[q(x)]^2} \)

Merke: Der Nenner der Ableitung \([q(x)]^2\) ist immer positiv (wenn \(q(x) \neq 0\)). Daher bestimmt nur der Zähler der Ableitung die Vorzeichen und damit die Extremstellen.

Vollständiges Beispiel

Kurvendiskussion: \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} \)

1. Definitionsbereich: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \)

\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)

2. Symmetrie: \( f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} = f(x) \)

Achsensymmetrisch zur y-Achse.

3. Nullstellen: \( x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \)

y-Achsenabschnitt: \( f(0) = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \)

4. Polstellen: Bei \(x = \pm 2\) (Zähler dort \(\neq 0\))

Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (gerade Vielfachheit im Nenner? Nein, einfach -- also mit VZW).

5. Asymptoten:

Senkrecht: \(x = -2\) und \(x = 2\)

Waagrecht: Zählergrad = Nennergrad = 2, also \( y = \frac{1}{1} = 1 \)

6. Ableitung:

\( f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4-x^2+1)}{(x^2-4)^2} = \frac{-6x}{(x^2-4)^2} \)

7. Extremstellen: \( f'(x) = 0 \Rightarrow -6x = 0 \Rightarrow x = 0 \)

\( f(0) = \frac{1}{4} \), also Extremstelle bei \( (0 \mid \frac{1}{4}) \)

\(f'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 0\) (im Bereich \(|x| < 2\)): lokales Maximum.

Graphskizze erstellen

Beim Zeichnen des Graphen einer rationalen Funktion beachte man:

Checkliste für die Graphskizze:

  • Asymptoten als gestrichelte Linien einzeichnen
  • Nullstellen, Extrempunkte und y-Achsenabschnitt eintragen
  • Verhalten an den Polstellen beachten (mit/ohne VZW)
  • Annäherung an die Asymptoten von oben oder unten prüfen
  • Symmetrie ausnutzen
  • Eventuell weitere Punkte berechnen

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Was ist der erste Schritt bei einer Kurvendiskussion einer rationalen Funktion?

Aufgabe 2Leicht

Welche Regel verwendet man zur Ableitung von \(\frac{p(x)}{q(x)}\)?

Aufgabe 3Mittel

Ist \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Aufgabe 4Mittel

Gegeben \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} \). Welche waagrechte Asymptote hat \(f\)?

Aufgabe 5Schwer

Bestimme die Extremstelle von \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \). Hinweis: \( f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \)