Senkrechte Asymptoten
Senkrechte Asymptoten (vertikale Asymptoten) treten an den Polstellen einer rationalen Funktion auf.
Die Gerade \( x = x_0 \) ist senkrechte Asymptote, wenn
\( \lim_{x \to x_0} |f(x)| = \infty \)
\( f(x) = \frac{2x}{x - 1} \)
Nenner null bei \(x = 1\), Zähler: \(p(1) = 2 \neq 0\)
Senkrechte Asymptote: \( x = 1 \)
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \) und \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \)
Merke: Senkrechte Asymptoten gibt es nur an Polstellen, nicht an hebbaren Definitionslücken!
Waagrechte Asymptoten
Waagrechte Asymptoten (horizontale Asymptoten) beschreiben das Verhalten für \(x \to \pm\infty\). Sie hängen vom Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner ab.
Für \( f(x) = \frac{a_m x^m + \ldots}{b_n x^n + \ldots} \):
Wenn \( m < n \): waagrechte Asymptote \( y = 0 \)
Wenn \( m = n \): waagrechte Asymptote \( y = \frac{a_m}{b_n} \)
Wenn \( m > n \): keine waagrechte Asymptote
Fall \(m < n\): \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) -- waagrechte Asymptote \(y = 0\)
Fall \(m = n\): \( f(x) = \frac{3x^2 + 1}{2x^2 - 5} \) -- waagrechte Asymptote \(y = \frac{3}{2}\)
Fall \(m > n\): \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \) -- keine waagrechte Asymptote
Grenzwertberechnung: Um die waagrechte Asymptote zu bestimmen, dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\):
\( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{5}{x^2}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2} \)
Schiefe Asymptoten
Wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad (\(m = n + 1\)), gibt es eine schiefe Asymptote (schräge Asymptote). Man findet sie durch Polynomdivision.
Wenn \(m = n + 1\): Polynomdivision \( \frac{p(x)}{q(x)} = g(x) + \frac{r(x)}{q(x)} \)
Die schiefe Asymptote ist die Gerade \(y = g(x)\).
\( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} \)
Polynomdivision: \( \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} = x + 1 + \frac{2}{x + 1} \)
Für \(x \to \pm\infty\) gilt: \(\frac{2}{x+1} \to 0\)
Schiefe Asymptote: \( y = x + 1 \)
Tipp: Ist der Zählergrad um 2 oder mehr größer als der Nennergrad, gibt es eine gekrümmte Asymptote (eine Parabel oder höhergradige Kurve). Diese kommt in der Schule aber selten vor.
Zusammenfassung
| Asymptoten-Typ | Bedingung | Bestimmung |
|---|---|---|
| Senkrecht: \(x = x_0\) | Polstelle bei \(x_0\) | Nenner null, Zähler nicht null |
| Waagrecht: \(y = 0\) | Zählergrad \(<\) Nennergrad | \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\) |
| Waagrecht: \(y = \frac{a_m}{b_n}\) | Zählergrad \(=\) Nennergrad | Quotient der Leitkoeffizienten |
| Schief: \(y = g(x)\) | Zählergrad \(=\) Nennergrad \(+ 1\) | Polynomdivision |
Übungen
Welche waagrechte Asymptote hat \( f(x) = \frac{5}{x - 2} \)?
Wo hat \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 4} \) senkrechte Asymptoten?
Welche waagrechte Asymptote hat \( f(x) = \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 3} \)?
Welchen Asymptoten-Typ hat \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) für \(x \to \pm\infty\)?
Bestimme die schiefe Asymptote von \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \).