Überblick

Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen. Im Gegensatz zu Polynomfunktionen sind rationale Funktionen nicht überall definiert -- an den Nullstellen des Nenners gibt es Definitionslücken.

Allgemeine Form
\( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0}{b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0} \)

\(p(x)\): Zählerpolynom vom Grad \(m\), \(q(x)\): Nennerpolynom vom Grad \(n\)

Wichtige Begriffe:

  • Definitionslücken: Nullstellen des Nenners \(q(x)\)
  • Polstellen: Definitionslücken, an denen \(f(x) \to \pm\infty\)
  • Hebbare Lücken: Definitionslücken, an denen Zähler und Nenner die gleiche Nullstelle haben
  • Asymptoten: Geraden oder Kurven, denen sich der Graph annähert

Typische Beispiele

Bekannte rationale Funktionen

\( f(x) = \frac{1}{x} \) -- einfachste rationale Funktion (Hyperbel)

\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \) für \(x \neq 1\) -- hebbare Lücke

\( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4} \) -- Polstellen bei \(x = \pm 2\)

\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} \) -- schiefe Asymptote

Merke: Jede Polynomfunktion ist auch eine rationale Funktion (mit Nenner \(q(x) = 1\)). Rationale Funktionen sind also eine Verallgemeinerung der Polynomfunktionen.

Übungen

Teste dein Grundwissen über rationale Funktionen!

Aufgabe 1Leicht

Was ist der Definitionsbereich von \( f(x) = \frac{1}{x-3} \)?

Aufgabe 2Mittel

Welche der folgenden Funktionen hat eine hebbare Definitionslücke?

Aufgabe 3Mittel

Was passiert an einer Polstelle?

🎯 Dein Ergebnis
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