Zusammenhang Wurzel und Potenz
Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit einem Bruch als Exponent schreiben:
Die \(n\)-te Wurzel von \(x\) entspricht der Potenz \(x^{1/n}\)
| Wurzelschreibweise | Potenzschreibweise | Exponent |
|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | \(x^{1/2}\) | \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) |
| \(\sqrt[3]{x}\) | \(x^{1/3}\) | \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\) |
| \(\sqrt[4]{x}\) | \(x^{1/4}\) | \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) |
| \(\sqrt{x^3}\) | \(x^{3/2}\) | \(\frac{3}{2} = 1{,}5\) |
| \(\sqrt[3]{x^2}\) | \(x^{2/3}\) | \(\frac{2}{3} \approx 0{,}667\) |
Allgemeine Regel: \(\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}\). Der Zähler des Exponenten ist die Potenz unter der Wurzel, der Nenner ist der Wurzelindex.
Die Quadratwurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{x}\)
Die bekannteste Wurzelfunktion ist \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\).
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Eigenschaften von \(f(x) = \sqrt{x}\):
- Definitionsmenge: \(D = [0, +\infty)\) (nur nicht-negative Zahlen)
- Wertemenge: \(W = [0, +\infty)\)
- Streng monoton steigend
- Geht durch \((0|0)\) und \((1|1)\)
- Der Graph wächst immer langsamer (konkav)
Tipp: Der Graph von \(f(x) = \sqrt{x}\) ist die Spiegelung der Parabel \(g(x) = x^2\) (für \(x \geq 0\)) an der Winkelhalbierenden \(y = x\). Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion!
Die Kubikwurzelfunktion \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
Die dritte Wurzel \(f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}\) hat andere Eigenschaften als die Quadratwurzel:
Unterschied zur Quadratwurzel:
- Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R}\) (auch negative Zahlen erlaubt, denn z.B. \(\sqrt[3]{-8} = -2\))
- Wertemenge: \(W = \mathbb{R}\)
- Punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion)
- \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\)
| \(x\) | \(-27\) | \(-8\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(8\) | \(27\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sqrt[3]{x}\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Rechenregeln für gebrochene Exponenten
Alle Potenzgesetze gelten auch für gebrochene Exponenten:
\(\frac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a-b}\)
\((x^{a})^{b} = x^{a \cdot b}\)
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{1/2} \cdot x^{1/3} = x^{1/2 + 1/3} = x^{5/6}\)
\(\frac{\sqrt{x}}{x} = x^{1/2} \cdot x^{-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}\)
\((\sqrt{x})^3 = (x^{1/2})^3 = x^{3/2} = \sqrt{x^3} = x\sqrt{x}\)
Übungen
Wie schreibt man \(\sqrt[4]{x}\) als Potenz?
Welche Definitionsmenge hat \(f(x) = \sqrt{x}\)?
Was ergibt \(\sqrt[3]{-64}\)?
Vereinfache: \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\)