Überblick
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form \(f(x) = a \cdot x^n\), wobei \(a\) ein Koeffizient und \(n\) der Exponent ist. Sie bilden eine der wichtigsten Funktionsfamilien in der Mathematik.
\(a\) = Koeffizient (Streckung/Stauchung), \(n\) = Exponent
Spezialfälle:
- \(n = 1\): lineare Funktion \(f(x) = ax\)
- \(n = 2\): quadratische Funktion \(f(x) = ax^2\) (Parabel)
- \(n = -1\): indirekte Proportionalität \(f(x) = \frac{a}{x}\) (Hyperbel)
- \(n = \frac{1}{2}\): Wurzelfunktion \(f(x) = a\sqrt{x}\)
Grundformen
Die Form des Graphen hängt vom Exponenten \(n\) ab:
| Exponent | Funktion | Graph |
|---|---|---|
| \(n = 2, 4, 6, \ldots\) (gerade) | \(x^2, x^4, x^6\) | U-Form, achsensymmetrisch zur y-Achse |
| \(n = 3, 5, 7, \ldots\) (ungerade) | \(x^3, x^5, x^7\) | S-Form, punktsymmetrisch zum Ursprung |
| \(n = -1, -2, \ldots\) (negativ) | \(x^{-1}, x^{-2}\) | Hyperbel, Asymptoten an den Achsen |
| \(n = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\) (Bruch) | \(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x}\) | Wurzelkurve |
Der Koeffizient a
Der Koeffizient \(a\) beeinflusst die Form des Graphen:
- \(|a| > 1\): Graph wird gestreckt (schmaler/steiler)
- \(0 < |a| < 1\): Graph wird gestaucht (breiter/flacher)
- \(a < 0\): Graph wird an der x-Achse gespiegelt
\(f(x) = 2x^2\) ist schmaler als \(g(x) = x^2\)
\(f(x) = \frac{1}{2}x^2\) ist breiter als \(g(x) = x^2\)
\(f(x) = -x^2\) ist nach unten geöffnet (Spiegelung an der x-Achse)
Übungen
Teste dein Wissen über Potenzfunktionen!
Welche der folgenden Funktionen ist eine Potenzfunktion?
Wie sieht der Graph von \(f(x) = x^3\) aus?
Was bewirkt ein negativer Koeffizient \(a\) bei \(f(x) = a \cdot x^2\)?
Alle Themen zu Potenzfunktionen
Vertiefe dein Wissen mit diesen Spezialthemen:
Potenzfunktionen Grundlagen
Definition, Grundformen für verschiedene Exponenten, Koeffizient
Gerade & ungerade Exponenten
Symmetrie, U-Form vs. S-Form, Vergleich der Graphen
Indirekte Proportionalität
f(x) = a/x, Hyperbel, asymptotisches Verhalten
Parameter bei Potenzfunktionen
Streckung, Stauchung, Spiegelung, Verschiebung
Wurzelfunktion als Potenzfunktion
Wurzeln als gebrochene Exponenten, Graphen und Eigenschaften