Grundprinzip
Ein Polynom vom Grad \(n\) hat \(n + 1\) unbekannte Koeffizienten \(a_0, a_1, \ldots, a_n\). Um es eindeutig zu bestimmen, braucht man genau \(n + 1\) unabhängige Bedingungen.
Für ein Polynom vom Grad \(n\) benötigt man \(n + 1\) Bedingungen.
Grad 1 (linear): 2 Bedingungen
Grad 2 (quadratisch): 3 Bedingungen
Grad 3 (kubisch): 4 Bedingungen
Mögliche Bedingungen:
- Funktionswerte: \(f(x_i) = y_i\) (Punkte auf dem Graphen)
- Ableitungswerte: \(f'(x_i) = m_i\) (Steigung an einer Stelle)
- Nullstellen: \(f(x_i) = 0\)
- Extremstellen: \(f'(x_i) = 0\)
- Wendepunkte: \(f''(x_i) = 0\)
- Symmetriebedingungen
Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
Bei Steckbriefaufgaben geht man systematisch vor:
1. Grad des Polynoms festlegen (oder aus Bedingungen ableiten)
2. Allgemeinen Ansatz aufstellen: \(f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0\)
3. Bedingungen in Gleichungen umsetzen
4. Gleichungssystem lösen
5. Ergebnis überprüfen
Aufgabe: Bestimme die quadratische Funktion, die durch die Punkte \(A(0|3)\), \(B(1|2)\) und \(C(2|5)\) verläuft.
Ansatz: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Bedingungen:
\(f(0) = 3: \quad c = 3\)
\(f(1) = 2: \quad a + b + c = 2\)
\(f(2) = 5: \quad 4a + 2b + c = 5\)
Lösung: Aus \(c = 3\) folgt:
\(a + b = -1\) und \(4a + 2b = 2\)
Daraus: \(a = 2, b = -3, c = 3\)
Ergebnis: \(f(x) = 2x^2 - 3x + 3\)
Steckbriefaufgaben mit Ableitungen
Häufig enthalten Steckbriefaufgaben auch Bedingungen an die Ableitung (Steigung, Extremstellen, Wendepunkte):
Aufgabe: Bestimme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit:
- \(f(0) = 2\) (y-Achsenabschnitt)
- \(f(2) = 0\) (Nullstelle bei \(x = 2\))
- \(f'(0) = 0\) (Extremstelle bei \(x = 0\))
- \(f'(2) = 0\) (Extremstelle bei \(x = 2\))
Ableitungen: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
Gleichungen:
\(d = 2\)
\(8a + 4b + 2c + d = 0\)
\(c = 0\)
\(12a + 4b + c = 0\)
Lösung: \(a = \frac{1}{2}, b = -\frac{3}{2}, c = 0, d = 2\)
Ergebnis: \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2\)
Tipp: Wenn die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen alle ungeraden Koeffizienten weg (\(a_1 = a_3 = \ldots = 0\)). Bei Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Koeffizienten weg.
Koeffizientenvergleich
Manchmal kann man statt eines Gleichungssystems auch einen Koeffizientenvergleich nutzen. Dabei vergleicht man die Koeffizienten zweier Darstellungen desselben Polynoms.
Gesucht: \(a\) und \(b\), sodass \(x^2 + 4x + 3 = (x + a)(x + b)\)
Rechte Seite ausmultiplizieren: \(x^2 + (a+b)x + ab\)
Koeffizientenvergleich: \(a + b = 4\) und \(ab = 3\)
Lösung: \(a = 1, b = 3\) (oder umgekehrt)
Übungen
Wie viele Bedingungen braucht man, um ein Polynom vom Grad 3 eindeutig zu bestimmen?
Eine quadratische Funktion geht durch \(A(0|1)\), \(B(1|0)\) und \(C(-1|4)\). Wie lautet \(f(x)\)?
Welche Bedingung liefert die Aussage "bei \(x = 3\) hat \(f\) eine Extremstelle"?
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat bei \(x = 1\) die Steigung \(-3\) sowie den Funktionswert \(f(1) = 2\). Welcher Ansatz ist richtig?