Warum logarithmische Skalen?
Manche Größen in der Natur variieren über riesige Bereiche. Beispielsweise ist ein Erdbeben der Stärke 8 nicht „doppelt so stark" wie Stärke 4, sondern 10 000-mal so stark!
Problem mit linearen Skalen: Wenn Werte von 0,000001 bis 1 000 000 reichen, kann man auf einer linearen Skala die kleinen Werte gar nicht mehr darstellen.
Lösung: Eine logarithmische Skala bildet den Logarithmus der Werte ab. So werden gleiche Verhältnisse (Multiplikation mit dem gleichen Faktor) als gleiche Abstände dargestellt.
Kernidee: Auf einer logarithmischen Skala bedeutet ein Schritt um 1 eine Verzehnfachung (bei Basis 10) des tatsächlichen Wertes.
pH-Wert (Chemie)
Der pH-Wert beschreibt den Säuregrad einer Lösung:
\([\text{H}^+]\) = Konzentration der Wasserstoffionen in mol/L
| Stoff | \([\text{H}^+]\) in mol/L | pH-Wert |
|---|---|---|
| Magensäure | \(10^{-1}\) | 1 (stark sauer) |
| Zitronensaft | \(10^{-2{,}3}\) | 2,3 (sauer) |
| Reines Wasser | \(10^{-7}\) | 7 (neutral) |
| Seife | \(10^{-10}\) | 10 (basisch) |
| Bleichmittel | \(10^{-13}\) | 13 (stark basisch) |
Ein Unterschied von 1 pH-Einheit bedeutet einen Faktor 10 bei der Ionenkonzentration!
Richter-Skala (Erdbeben)
Die Richter-Skala misst die Magnitude (Stärke) von Erdbeben logarithmisch:
Ein Anstieg der Magnitude um 1 bedeutet:
- Die Bodenamplitude ist 10-mal so groß
- Die freigesetzte Energie ist etwa 31,6-mal so groß (\(10^{1{,}5} \approx 31{,}6\))
Erdbeben Magnitude 4 vs. Magnitude 7:
Unterschied: 3 Stufen → Amplitude: \(10^3 = 1000\)-mal stärker
Energieunterschied: \(10^{3 \cdot 1{,}5} = 10^{4{,}5} \approx 31\,623\)-mal mehr Energie
Dezibel-Skala (Lautstärke)
Die Lautstärke wird in Dezibel (dB) gemessen:
\(I\) = Schallintensität, \(I_0 = 10^{-12}\) W/m² (Hörschwelle)
| Geräusch | Dezibel | Intensitätsfaktor |
|---|---|---|
| Hörschwelle | 0 dB | \(1\) |
| Flüstern | 30 dB | \(1\,000\) |
| Normales Gespräch | 60 dB | \(1\,000\,000\) |
| Rockkonzert | 110 dB | \(10^{11}\) |
| Schmerzgrenze | 130 dB | \(10^{13}\) |
Merke: +10 dB bedeutet 10-fache Schallintensität. +20 dB bedeutet 100-fache Intensität. Ein normales Gespräch (60 dB) ist 1 Million Mal intensiver als die Hörschwelle (0 dB)!
Logarithmische Graphen lesen
Bei einem logarithmisch skalierten Graphen sind die Abstände auf der Achse nicht gleichmäßig:
Einfach-logarithmisch (halblogarithmisch): Eine Achse logarithmisch, eine linear. Exponentielles Wachstum erscheint als Gerade!
Doppelt-logarithmisch: Beide Achsen logarithmisch. Potenzfunktionen \(f(x) = a \cdot x^n\) erscheinen als Geraden mit Steigung \(n\).
Praxistipp: Wenn Daten auf halblogarithmischem Papier eine Gerade ergeben, handelt es sich um exponentielles Wachstum. Auf doppelt-logarithmischem Papier deutet eine Gerade auf eine Potenzfunktion hin.
Übungen
Eine Lösung hat eine Wasserstoffionenkonzentration von \([\text{H}^+] = 10^{-4}\) mol/L. Welchen pH-Wert hat sie?
Um wie viel Mal stärker (in der Bodenamplitude) ist ein Erdbeben der Magnitude 6 im Vergleich zu Magnitude 4?
Ein Geräusch hat 80 dB. Ein zweites hat 100 dB. Wie verhält sich die Schallintensität?
Auf einem halblogarithmischen Papier ergibt sich eine Gerade. Welcher Funktionstyp liegt vor?