Logarithmische Gleichungen lösen - Erklärung & Beispiele

Grundtypen logarithmischer Gleichungen

Es gibt verschiedene Typen, die jeweils eine eigene Lösungsstrategie erfordern:

Typ 1: Einfache Gleichung – \(\log_a(x) = c\)

Lösung: \(x = a^c\)

Typ 2: Gleichung mit Argument – \(\log_a(f(x)) = c\)

Lösung: \(f(x) = a^c\), dann nach \(x\) auflösen

Typ 3: Gleichung mit gleicher Basis – \(\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))\)

Lösung: \(f(x) = g(x)\), dann Definitionsmenge prüfen

Die einfachste Methode: Logarithmus-Definition rückwärts anwenden.

Grundprinzip

\(\log_a(x) = c \quad \Leftrightarrow \quad x = a^c\)

Beispiel 1

Löse \(\log_3(x) = 4\).

\(x = 3^4 = 81\)

Probe: \(\log_3(81) = \log_3(3^4) = 4\) ✓

Beispiel 2

Löse \(\ln(2x - 1) = 0\).

\(2x - 1 = e^0 = 1\)

\(2x = 2\), also \(x = 1\)

Probe: \(\ln(2 \cdot 1 - 1) = \ln(1) = 0\) ✓

Bei komplexeren Gleichungen fasst man zunächst Logarithmen zusammen:

Beispiel 3

Löse \(\log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3\).

Schritt 1: Zusammenfassen: \(\log_2(x(x - 2)) = 3\)

Schritt 2: Definition: \(x(x - 2) = 2^3 = 8\)

Schritt 3: Gleichung lösen: \(x^2 - 2x - 8 = 0\)

Mit der Lösungsformel: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\)

\(x_1 = 4\) oder \(x_2 = -2\)

Schritt 4: Definitionsmenge prüfen: \(x > 0\) und \(x - 2 > 0\), also \(x > 2\).

\(x_2 = -2\) entfällt! Lösung: \(x = 4\)

Tipp: Vergiss nie die Definitionsmenge zu prüfen! Da der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist, können Scheinlösungen auftreten.

Man kann beide Seiten einer Gleichung als Exponent der Basis einsetzen:

Exponenzieren

\(\log_a(\text{links}) = \log_a(\text{rechts}) \quad \Rightarrow \quad \text{links} = \text{rechts}\)

Nur gültig, wenn beide Seiten denselben Logarithmus haben

Beispiel 4

Löse \(\lg(x + 3) = \lg(2x - 1)\).

Da die Basen gleich sind: \(x + 3 = 2x - 1\)

\(4 = x\), also \(x = 4\)

Prüfung: \(x + 3 = 7 > 0\) ✓ und \(2x - 1 = 7 > 0\) ✓