Definitionsbereich
Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert:
Man kann nur den Logarithmus positiver Zahlen berechnen!
Warum nur \(x > 0\)?
Da \(\log_a(x) = y\) gleichbedeutend mit \(a^y = x\) ist und \(a^y > 0\) für alle \(y \in \mathbb{R}\) gilt, kann \(x\) nur positive Werte annehmen. Es gibt keinen Exponenten \(y\), für den \(a^y = 0\) oder \(a^y < 0\) wäre.
Bei \(f(x) = \log_2(x - 3)\) muss das Argument \(x - 3 > 0\) sein, also \(x > 3\).
Definitionsmenge: \(D = (3, +\infty)\)
Bei \(g(x) = \ln(2x + 4)\) muss \(2x + 4 > 0\) sein, also \(x > -2\).
Definitionsmenge: \(D = (-2, +\infty)\)
Senkrechte Asymptote
Die Logarithmusfunktion hat eine senkrechte Asymptote:
Für \(x \to 0^+\) gilt: \(f(x) \to -\infty\)
Vergleich mit der Exponentialfunktion:
| Funktion | Asymptote | Typ |
|---|---|---|
| \(f(x) = a^x\) | \(y = 0\) (x-Achse) | waagrecht |
| \(f(x) = \log_a(x)\) | \(x = 0\) (y-Achse) | senkrecht |
Die Asymptoten spiegeln sich ebenfalls an der Geraden \(y = x\).
Tipp: Bei \(f(x) = \log_a(x - c)\) verschiebt sich die senkrechte Asymptote auf \(x = c\).
Monotonie
Die Monotonie der Logarithmusfunktion hängt von der Basis ab:
| Basis | Monotonie | Beispiel |
|---|---|---|
| \(a > 1\) | streng monoton steigend | \(\log_2(x), \ln(x), \lg(x)\) |
| \(0 < a < 1\) | streng monoton fallend | \(\log_{0{,}5}(x)\) |
Konsequenz: Da die Logarithmusfunktion streng monoton ist, hat die Gleichung \(\log_a(x) = c\) immer genau eine Lösung (nämlich \(x = a^c\)).
Besondere Punkte und Werte
\(\log_a(a) = 1\) – Punkt \((a \mid 1)\)
\(\log_a\left(\frac{1}{a}\right) = -1\) – Punkt \(\left(\frac{1}{a} \mid -1\right)\)
Wertemenge: \(W = \mathbb{R}\) – die Logarithmusfunktion nimmt jeden reellen Wert an, auch negative Werte (für \(0 < x < 1\)) und beliebig große positive Werte (für \(x \to +\infty\)).
| Eigenschaft | Wert |
|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = (0, +\infty)\) |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}\) |
| Nullstelle | \(x = 1\) |
| Asymptote | \(x = 0\) (senkrecht) |
| Monotonie (\(a > 1\)) | streng monoton steigend |
| Krümmung (\(a > 1\)) | rechtsgekrümmt (konkav) |
Übungen
Was ist die Definitionsmenge von \(f(x) = \log_3(x)\)?
Wo liegt die Nullstelle von \(f(x) = \ln(x)\)?
Was ist die Definitionsmenge von \(f(x) = \log_2(x - 5)\)?
Die Funktion \(f(x) = \log_{0{,}5}(x)\) ist...