Wann welches Modell?
Der Kontext und die Daten geben Hinweise auf den passenden Funktionstyp:
| Situation | Passendes Modell | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstante Zunahme/Abnahme | Linear: \(f(x) = kx + d\) | Wasserstand steigt 2 cm/h |
| Beschleunigte Zunahme, ein Extremum | Quadratisch: \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | Wurfparabel |
| Prozentuale Zunahme/Abnahme | Exponentiell: \(f(x) = a \cdot b^x\) | Bevölkerung wächst um 3 %/Jahr |
| Sich wiederholende Muster | Trigonometrisch: \(f(x) = a\sin(bx) + d\) | Temperatur im Jahresverlauf |
| Sättigung/Abflachung | Logarithmisch: \(f(x) = a\ln(x) + b\) | Lernkurve |
Systematisches Vorgehen
So findest du das passende Modell für gegebene Daten:
Schritt 1: Kontext analysieren
Was wird beschrieben? Gibt es einen natürlichen Grund für einen bestimmten Funktionstyp?
- Zinsen, Wachstumsraten → exponentiell
- Schwingungen, Jahreszeiten → trigonometrisch
- Gleichmäßige Bewegung → linear
Schritt 2: Daten untersuchen
- Differenzen bilden → konstant? → linear
- Zweite Differenzen → konstant? → quadratisch
- Quotienten → konstant? → exponentiell
- Werte wiederholen sich? → periodisch
Schritt 3: Modell aufstellen
Parameter bestimmen (z. B. Steigung und y-Achsenabschnitt bei linearen Funktionen, oder Amplitude und Periode bei Sinusfunktionen).
Schritt 4: Modell überprüfen
Stimmen die berechneten Werte mit den gegebenen Daten überein? Gibt das Modell auch für nicht gemessene Werte sinnvolle Ergebnisse?
Modellqualität bewerten
Ein gutes Modell sollte:
- Die Daten gut beschreiben: Die Funktionswerte sollten nahe an den gemessenen Werten liegen
- Sinnvoll interpolieren: Auch zwischen den Messpunkten plausible Werte liefern
- Sinnvoll extrapolieren: Auch Vorhersagen außerhalb des Messbereichs sollten realistisch sein (hier ist Vorsicht geboten!)
- Zum Kontext passen: Ein periodisches Modell für eine einmalige Entwicklung wäre unpassend
| Jahr | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | 2020 |
|---|---|---|---|---|---|
| Einwohner | 10 000 | 11 000 | 12 100 | 13 310 | 14 641 |
Quotienten: \(\frac{11000}{10000} = 1{,}1\); \(\frac{12100}{11000} = 1{,}1\); usw. → Konstant!
Modell: \(f(t) = 10\,000 \cdot 1{,}1^{\frac{t-2000}{5}}\) (exponentiell, 10 % Wachstum alle 5 Jahre)
Aber: Unbegrenztes exponentielles Wachstum ist in der Realität nicht möglich! Ab einem bestimmten Punkt wird ein anderes Modell (z. B. logistisches Wachstum) passender.
Grenzen der Modellierung
Jedes mathematische Modell hat Grenzen:
Wichtige Einschränkungen:
- Extrapolation: Vorhersagen weit außerhalb des Datenbereichs sind oft unzuverlässig. Ein exponentielles Modell sagt irgendwann unrealistisch große Werte voraus.
- Vereinfachung: Modelle sind immer Vereinfachungen der Realität. Störfaktoren, zufällige Schwankungen und Ausnahmen werden ignoriert.
- Gültigkeitsbereich: Ein Modell kann in einem Bereich gut passen, aber außerhalb versagen. (z. B. die Parabel eines Wurfes gilt nur bis zum Aufprall.)
- Mehrere Modelle möglich: Oft passen verschiedene Funktionstypen ähnlich gut zu den Daten. Die Wahl hängt auch vom Kontext ab.
Merke: „Alle Modelle sind falsch, aber manche sind nützlich." (George Box). Ein gutes Modell muss nicht perfekt sein – es muss die wesentlichen Zusammenhänge richtig beschreiben.
Übungen
Die Temperatur in einer Stadt schwankt zwischen Winter und Sommer regelmäßig. Welches Modell passt am besten?
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 3 Stunden. Welches Modell passt?
Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit 80 km/h. Welches Modell beschreibt die zurückgelegte Strecke \(s(t)\)?
Ein exponentielles Bevölkerungsmodell sagt voraus, dass in 200 Jahren 10 Milliarden Menschen in einer kleinen Stadt leben. Was ist das Problem?