Erkennung aus der Gleichung
Die Gleichung verrät sofort den Funktionstyp:
| Funktionstyp | Erkennungsmerkmal | Beispiele |
|---|---|---|
| Linear | \(x\) kommt nur in 1. Potenz vor | \(f(x) = 3x + 1\), \(g(x) = -2x\) |
| Quadratisch | \(x^2\) ist die höchste Potenz | \(f(x) = x^2 - 4\), \(g(x) = -2x^2 + x\) |
| Exponentiell | \(x\) steht im Exponenten | \(f(x) = 2^x\), \(g(x) = 5 \cdot 3^x\) |
| Logarithmisch | \(x\) steht im Argument des Logarithmus | \(f(x) = \ln(x)\), \(g(x) = \log_2(x)\) |
Tipp: Frage dich: „Wo steht die Variable \(x\)?" – In der Basis: Potenzfunktion. Im Exponenten: Exponentialfunktion. Im Logarithmus-Argument: Logarithmusfunktion.
Erkennung aus der Wertetabelle
Bei gleichabständigen \(x\)-Werten (z. B. \(x = 0, 1, 2, 3, \ldots\)) untersuche:
Differenzenmethode:
- 1. Differenzen konstant ⇒ linear
- 2. Differenzen konstant ⇒ quadratisch
- Quotienten konstant ⇒ exponentiell
Gegeben: \(f(0) = 3\), \(f(1) = 6\), \(f(2) = 12\), \(f(3) = 24\), \(f(4) = 48\)
1. Differenzen: 3, 6, 12, 24 – nicht konstant
Quotienten: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{12}{6} = 2\), \(\frac{24}{12} = 2\), \(\frac{48}{24} = 2\) – konstant!
⇒ Exponentiell mit \(b = 2\) und \(a = 3\): \(f(x) = 3 \cdot 2^x\)
Gegeben: \(f(0) = 1\), \(f(1) = 4\), \(f(2) = 9\), \(f(3) = 16\), \(f(4) = 25\)
1. Differenzen: 3, 5, 7, 9 – nicht konstant
2. Differenzen: 2, 2, 2 – konstant!
⇒ Quadratisch: \(f(x) = (x + 1)^2\)
Erkennung aus dem Graphen
Jeder Funktionstyp hat einen charakteristischen Graphen:
Graphische Merkmale:
- Linear: Gerade Linie
- Quadratisch: Parabel (U-Form oder umgekehrt), genau ein Extremum
- Exponentiell: Kurve mit waagrechter Asymptote, immer steiler werdend (oder flacher bei Zerfall)
- Logarithmisch: Kurve mit senkrechter Asymptote, immer flacher werdend
- Trigonometrisch: Periodische Wellenform
| Funktionstyp | Asymptote | Extrema | Besonderheit |
|---|---|---|---|
| Linear | keine | keine | konstante Steigung |
| Quadratisch | keine | genau 1 | Achsensymmetrie |
| Exponentiell | waagrecht | keine | streng monoton |
| Logarithmisch | senkrecht | keine | nur für \(x > 0\) |
Entscheidungsbaum
Schnelltest:
- Hat der Graph eine senkrechte Asymptote? ⇒ Logarithmusfunktion
- Hat der Graph eine waagrechte Asymptote? ⇒ Exponentialfunktion
- Ist der Graph eine Gerade? ⇒ Lineare Funktion
- Hat der Graph genau ein Extremum und ist symmetrisch? ⇒ Quadratische Funktion
- Wiederholt sich der Graph periodisch? ⇒ Trigonometrische Funktion
Übungen
Welcher Funktionstyp ist \(f(x) = 5 \cdot 3^x\)?
Ein Graph hat eine senkrechte Asymptote und ist nur für \(x > 0\) definiert. Welcher Typ?
Wertetabelle: \(f(0) = 1\), \(f(1) = 3\), \(f(2) = 5\), \(f(3) = 7\). Welcher Funktionstyp?
Wertetabelle: \(f(1) = 0\), \(f(2) = 1\), \(f(4) = 2\), \(f(8) = 3\). Welcher Funktionstyp?
Welche Funktion hat eine waagrechte Asymptote, keine Nullstelle und ist streng monoton steigend?