Überblick

Der Funktionsbegriff ist eines der zentralen Konzepte der Mathematik. In der Oberstufe arbeiten wir mit einer formalen Definition, die präzise beschreibt, was eine Funktion ist. Wir untersuchen verschiedene Eigenschaften von Funktionen systematisch und lernen, wie man Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen berechnet.

Vorwissen: Du solltest den Funktionsbegriff aus der Unterstufe kennen (Zuordnung, Graph, Wertetabelle) sowie lineare und quadratische Funktionen beherrschen.

Der formale Funktionsbegriff

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(D\) genau ein Element \(y = f(x)\) aus der Zielmenge zuordnet.

Funktionsnotation
\(f: D \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)\)

Lies: "f bildet x auf f(x) ab"

Die Schreibweise \(f: A \to B\) bedeutet, dass die Funktion \(f\) Elemente aus der Menge \(A\) (Definitionsmenge) auf Elemente der Menge \(B\) (Zielmenge) abbildet. Der Pfeil \(\mapsto\) beschreibt die konkrete Zuordnungsvorschrift.

Wichtige Funktionseigenschaften

In der Oberstufe untersuchst du Funktionen systematisch auf verschiedene Eigenschaften:

  • Monotonie: Ist die Funktion steigend oder fallend?
  • Symmetrie: Ist der Graph achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?
  • Periodizität: Wiederholt sich der Funktionsverlauf?
  • Nullstellen: Wo schneidet der Graph die x-Achse?
  • Extremwerte: Wo hat die Funktion Hoch- oder Tiefpunkte?

Schnittpunkte zweier Funktionen

Schnittpunkte zweier Funktionen \(f\) und \(g\) findest du, indem du die Gleichung \(f(x) = g(x)\) löst. Die x-Koordinate des Schnittpunkts erhältst du durch Lösen der Gleichung, die y-Koordinate durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen.

Beispiel

Gegeben: \(f(x) = 2x + 1\) und \(g(x) = -x + 7\)

Gleichsetzen: \(2x + 1 = -x + 7\) ergibt \(x = 2\), also \(y = f(2) = 5\).

Schnittpunkt: \(S(2|5)\)

Übungen

Teste dein Wissen zum Funktionsbegriff!

Aufgabe 1Leicht

Was bedeutet die Schreibweise \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto 2x + 3\)?

Aufgabe 2Mittel

Welche Eigenschaft hat eine gerade Funktion?

Aufgabe 3Mittel

Wo schneiden sich \(f(x) = 3x - 1\) und \(g(x) = x + 5\)?

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Alle Themen zum Funktionsbegriff Oberstufe

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Formale Definition, Definitions- und Wertemenge, Funktionsnotation

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Verbal, Tabelle, Graph und Gleichung - die vier Darstellungsarten

Funktionseigenschaften

Monotonie, Symmetrie, Periodizität, Beschränktheit im Überblick

Schnittpunkte zweier Funktionen

Gleichsetzen, Lösen und graphische Interpretation