Der Parameter \(a\) – Anfangswert und Streckung
Der Parameter \(a\) in \(f(x) = a \cdot b^x\) bestimmt den y-Achsenabschnitt und die vertikale Streckung:
- \(f(0) = a\): Der Graph schneidet die y-Achse bei \((0 \mid a)\)
- \(|a| > 1\): Der Graph wird vertikal gestreckt (steiler)
- \(0 < |a| < 1\): Der Graph wird vertikal gestaucht (flacher)
- \(a < 0\): Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt
| Funktion | y-Achsenabschnitt | Wirkung |
|---|---|---|
| \(f(x) = 2^x\) | \((0 \mid 1)\) | Standardform |
| \(g(x) = 3 \cdot 2^x\) | \((0 \mid 3)\) | gestreckt, höherer Startpunkt |
| \(h(x) = 0{,}5 \cdot 2^x\) | \((0 \mid 0{,}5)\) | gestaucht, tieferer Startpunkt |
| \(k(x) = -2^x\) | \((0 \mid -1)\) | an x-Achse gespiegelt |
Wichtig: Bei \(a < 0\) liegt der Graph unter der x-Achse. Die Asymptote bleibt \(y = 0\), wird aber von unten angenähert. Die Wertemenge ist dann \(W = (-\infty, 0)\).
Der Parameter \(b\) – Basis und Wachstumsrate
Die Basis \(b\) bestimmt, wie schnell die Funktion wächst oder zerfällt:
- \(b > 1\): Exponentielles Wachstum – je größer \(b\), desto steiler
- \(0 < b < 1\): Exponentieller Zerfall – je kleiner \(b\), desto schneller der Zerfall
- \(b = 1\): Konstante Funktion (nicht erlaubt, da \(f(x) = a\) keine Exponentialfunktion ist)
| \(x\) | \(1{,}5^x\) | \(2^x\) | \(3^x\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(3\) |
| \(2\) | \(2{,}25\) | \(4\) | \(9\) |
| \(5\) | \(7{,}59\) | \(32\) | \(243\) |
Je größer die Basis, desto schneller wächst die Funktion. Alle Graphen gehen durch \((0 \mid 1)\).
Der Parameter \(\lambda\) – Wachstumskonstante
In der Darstellung \(f(x) = a \cdot e^{\lambda x}\) steuert \(\lambda\) die Wachstumsgeschwindigkeit:
\(\lambda > 0\): Wachstum, \(\lambda < 0\): Zerfall
Bedeutung von \(\lambda\): Der Wert \(\lambda\) gibt die relative Änderungsrate an. Bei \(\lambda = 0{,}05\) wächst die Funktion mit einer momentanen Rate von 5 % des aktuellen Wertes – pro Zeiteinheit.
Die Asymptote
Jede Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot b^x\) hat die x-Achse (\(y = 0\)) als waagrechte Asymptote.
- Für \(a > 0, b > 1\): Der Graph nähert sich \(y = 0\) für \(x \to -\infty\) (von oben)
- Für \(a > 0, 0 < b < 1\): Der Graph nähert sich \(y = 0\) für \(x \to +\infty\) (von oben)
- Der Graph berührt die x-Achse nie – \(f(x) \neq 0\) für alle \(x\)
Erweiterte Form: Bei \(f(x) = a \cdot b^x + d\) verschiebt sich die Asymptote auf \(y = d\). In der Grundform (\(d = 0\)) ist die Asymptote immer die x-Achse.
Übungen
Wo schneidet der Graph von \(f(x) = 4 \cdot 3^x\) die y-Achse?
Welche Funktion wächst am schnellsten?
Was bewirkt \(a < 0\) bei \(f(x) = a \cdot 2^x\)?
Die Funktion \(f(x) = a \cdot e^{\lambda x}\) hat \(f(0) = 5\) und \(\lambda = -0{,}2\). Welche Aussage stimmt?