Grundidee
Auf einer linearen Skala haben gleiche Abstände gleiche Differenzen (z. B. 1, 2, 3, 4, ...). Auf einer logarithmischen Skala entsprechen gleiche Abstände gleichen Faktoren (z. B. 1, 10, 100, 1000, ...).
Gleiche Abstände = gleiche Verhältnisse der Originalwerte
Warum logarithmische Skalen?
- Große Wertebereiche werden übersichtlich dargestellt
- Exponentielles Wachstum erscheint als Gerade
- Relative Änderungen werden besser sichtbar
Halblogarithmische Darstellung
Bei einer halblogarithmischen Darstellung ist nur eine Achse logarithmisch skaliert (meist die y-Achse), die andere bleibt linear.
Wichtige Eigenschaft: Eine Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot b^x\) ergibt in der halblogarithmischen Darstellung eine Gerade.
Denn: \(\log(f(x)) = \log(a) + x \cdot \log(b)\) ist eine lineare Funktion in \(x\).
Die Funktion \(f(x) = 2 \cdot 10^x\) hat die Werte:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(2\) | \(20\) | \(200\) | \(2000\) |
| \(\log(f(x))\) | \(0{,}30\) | \(1{,}30\) | \(2{,}30\) | \(3{,}30\) |
Im halblogarithmischen Diagramm liegen die Punkte auf einer Geraden mit Steigung 1.
Doppelt-logarithmische Darstellung
Bei einer doppelt-logarithmischen Darstellung sind beide Achsen logarithmisch skaliert.
Wichtige Eigenschaft: Eine Potenzfunktion \(f(x) = a \cdot x^n\) ergibt in der doppelt-logarithmischen Darstellung eine Gerade mit Steigung \(n\).
Denn: \(\log(f(x)) = \log(a) + n \cdot \log(x)\)
Tipp: Mit der richtigen Darstellung kann man den Funktionstyp erkennen: Ergibt sich eine Gerade im halblogarithmischen Diagramm, liegt eine Exponentialfunktion vor. Ergibt sich eine Gerade im doppelt-logarithmischen Diagramm, liegt eine Potenzfunktion vor.
Bekannte logarithmische Skalen
Die Richterskala misst die Stärke von Erdbeben. Eine Erhöhung um 1 bedeutet die 10-fache Amplitude und etwa die 32-fache Energie.
Ein Erdbeben der Stärke 7 ist also 10-mal stärker als eines der Stärke 6.
Der pH-Wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an:
\(\text{pH} = -\log_{10}([\text{H}^+])\)
Eine Änderung um 1 pH-Einheit entspricht einer 10-fachen Änderung der Ionenkonzentration.
Die Dezibelskala misst die Lautstärke:
\(L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \text{ dB}\)
Eine Erhöhung um 10 dB entspricht einer 10-fachen Schallintensität. 20 dB mehr bedeuten 100-fache Intensität.
Übungen
Ein Erdbeben der Stärke 5 hat eine bestimmte Amplitude. Wie groß ist die Amplitude eines Erdbebens der Stärke 7 im Vergleich?
Welche Funktion erscheint im halblogarithmischen Diagramm als Gerade?
Eine Lösung hat pH = 3, eine andere pH = 5. Um welchen Faktor unterscheidet sich die H\(^+\)-Konzentration?
Welche Funktion erscheint im doppelt-logarithmischen Diagramm als Gerade?