Bakterienwachstum
Unter idealen Bedingungen teilen sich Bakterien in regelmäßigen Abständen. Die Anzahl wächst exponentiell:
\(N_0\) = Anfangsanzahl, \(T\) = Teilungszeit, \(t\) = Zeit
E. coli teilen sich unter optimalen Bedingungen alle 20 Minuten. Beginn mit 100 Bakterien.
\(N(t) = 100 \cdot 2^{t/20}\) (mit \(t\) in Minuten)
Nach 2 Stunden (120 min): \(N(120) = 100 \cdot 2^{6} = 100 \cdot 64 = 6400\)
Nach 6 Stunden (360 min): \(N(360) = 100 \cdot 2^{18} = 100 \cdot 262\,144 \approx 26{,}2 \text{ Millionen}\)
Radioaktiver Zerfall
Radioaktive Stoffe zerfallen mit einer charakteristischen Halbwertszeit:
\(N_0\) = Anfangsmenge, \(t_H\) = Halbwertszeit
Die Halbwertszeit von C-14 beträgt 5730 Jahre.
In einer Probe werden noch 25 % des ursprünglichen C-14 gemessen.
\(0{,}25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}\) ⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}\) ⇒ \(t = 2 \cdot 5730 = 11\,460\) Jahre
Die Probe ist etwa 11.460 Jahre alt.
Bekannte Halbwertszeiten:
- Iod-131: 8 Tage (Schilddrüsendiagnostik)
- Kohlenstoff-14: 5730 Jahre (Altersbestimmung)
- Uran-238: 4,5 Milliarden Jahre (Gesteinsalter)
Abkühlung (Newton'sches Abkühlungsgesetz)
Die Temperatur eines Körpers nähert sich exponentiell der Umgebungstemperatur an:
\(T_U\) = Umgebungstemperatur, \(T_0\) = Anfangstemperatur, \(k > 0\) = Abkühlungskonstante
Ein Kaffee hat 90 °C, die Raumtemperatur beträgt 20 °C, \(k = 0{,}05\) pro Minute.
\(T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}05t}\)
Nach 10 Minuten: \(T(10) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}5} \approx 20 + 70 \cdot 0{,}607 \approx 62{,}5\) °C
Nach 30 Minuten: \(T(30) = 20 + 70 \cdot e^{-1{,}5} \approx 20 + 70 \cdot 0{,}223 \approx 35{,}6\) °C
Tipp: Beachte, dass die Temperatur nie unter die Umgebungstemperatur sinkt – die waagrechte Asymptote liegt bei \(T = T_U\).
Bevölkerungswachstum
Unter bestimmten Bedingungen wächst eine Bevölkerung exponentiell:
\(P_0\) = Anfangsbevölkerung, \(r\) = jährliche Wachstumsrate
Eine Stadt hat 50.000 Einwohner und wächst jährlich um 1,5 %.
\(P(t) = 50\,000 \cdot e^{0{,}015 \cdot t}\) oder äquivalent \(P(t) = 50\,000 \cdot 1{,}015^t\)
Nach 20 Jahren: \(P(20) = 50\,000 \cdot 1{,}015^{20} \approx 50\,000 \cdot 1{,}347 \approx 67\,350\)
Grenzen des Modells: In der Realität kann eine Bevölkerung nicht unbegrenzt exponentiell wachsen. Ab einem gewissen Punkt begrenzen Ressourcen das Wachstum (logistisches Wachstum).
Übungen
Bakterien verdoppeln sich alle 30 Minuten. Beginn mit 500 Bakterien. Wie viele sind es nach 2 Stunden?
Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 10 Tagen. Wie viel ist nach 30 Tagen noch vorhanden?
Ein Kaffee kühlt nach dem Newton'schen Abkühlungsgesetz ab. Die Umgebungstemperatur ist 22 °C. Welchem Wert nähert sich die Kaffeetemperatur langfristig an?
Eine Stadt hat 100.000 Einwohner und wächst jährlich um 2 %. Welche Formel beschreibt die Einwohnerzahl nach \(t\) Jahren?
Von einem radioaktiven Stoff mit Halbwertszeit 4 Stunden sind nach 12 Stunden noch 10 g vorhanden. Wie viel war am Anfang vorhanden?