Was sind Typ-2 Aufgaben?

Typ-2 Aufgaben bilden den Teil 2 der schriftlichen Reifeprüfung. Im Gegensatz zu Typ-1 Aufgaben sind sie umfangreicher und vernetzen mehrere Grundkompetenzen.

Merkmale von Typ-2 Aufgaben:

  • Kontextbezogene Aufgabenstellung (Sachaufgaben aus Alltag, Wirtschaft, Naturwissenschaft)
  • Mehrere Teilaufgaben (a, b, c, ...) mit steigendem Schwierigkeitsgrad
  • Technologieeinsatz erlaubt und oft erforderlich (GeoGebra, Taschenrechner)
  • Verschiedene Grundkompetenzen werden kombiniert
  • Mehrere Punkte pro Aufgabe (je nach Teilaufgaben)
  • Bearbeitungszeit: ca. 20–30 Minuten pro Aufgabe

Lösungsstrategie für Typ-2 Aufgaben

Ein systematisches Vorgehen ist bei Typ-2 Aufgaben besonders wichtig. Befolge diese Schritte:

Schritt 1 – Text lesen und verstehen: Lies die gesamte Aufgabe einmal durch, bevor du mit dem Rechnen beginnst. Markiere wichtige Informationen und Variablen.

Schritt 2 – Modell identifizieren: Erkenne, welches mathematische Modell verwendet wird (Polynomfunktion, Exponentialfunktion etc.) und welche Grundkompetenzen gefragt sind.

Schritt 3 – Teilaufgaben lösen: Bearbeite die Teilaufgaben der Reihe nach. Oft baut eine Teilaufgabe auf der vorherigen auf.

Schritt 4 – Ergebnis interpretieren: Typ-2 Aufgaben verlangen fast immer eine Interpretation im Sachkontext. Vergiss nicht, das Ergebnis mit Einheiten anzugeben und zu deuten.

Vollständige Beispielaufgabe

Aufgabe: Wasserstand eines Stausees

Der Wasserstand eines Stausees wird durch die Funktion \(h(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 - 3t + 20\) modelliert, wobei \(h\) die Höhe in Metern und \(t\) die Zeit in Wochen (ab Jahresbeginn) angibt. Der Modellierungszeitraum ist \(0 \leq t \leq 20\).

Teilaufgabe a) – Anfangswasserstand

Bestimme den Wasserstand zu Jahresbeginn und interpretiere das Ergebnis.

1
\(h(0) = -0{,}02 \cdot 0 + 0{,}6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 20 = 20\)
2
Interpretation: Zu Jahresbeginn beträgt der Wasserstand 20 Meter.
Teilaufgabe b) – Änderungsrate

Berechne die momentane Änderungsrate des Wasserstands nach 10 Wochen und interpretiere das Ergebnis.

1
\(h'(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t - 3\)
2
\(h'(10) = -0{,}06 \cdot 100 + 1{,}2 \cdot 10 - 3 = -6 + 12 - 3 = 3\)
3
Interpretation: Nach 10 Wochen steigt der Wasserstand mit einer Rate von 3 Metern pro Woche.
Teilaufgabe c) – Extremwert

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am höchsten ist, und den zugehörigen Wasserstand.

1
\(h'(t) = 0\): \(-0{,}06t^2 + 1{,}2t - 3 = 0\), mit der Lösungsformel: \(t = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 - 0{,}72}}{-0{,}12}\)
2
\(t = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{0{,}72}}{-0{,}12}\), also \(t_1 \approx 2{,}93\) und \(t_2 \approx 17{,}07\)
3
\(h''(t) = -0{,}12t + 1{,}2\). \(h''(17{,}07) = -0{,}12 \cdot 17{,}07 + 1{,}2 \approx -0{,}85 < 0\): Maximum
4
\(h(17{,}07) \approx 26{,}1\). Der höchste Wasserstand von ca. 26,1 m wird nach ca. 17 Wochen erreicht.
Teilaufgabe d) – Integral

Berechne den mittleren Wasserstand in den ersten 10 Wochen.

1
Mittlerer Wasserstand: \(\bar{h} = \frac{1}{10} \int_0^{10} h(t)\, dt\)
2
\(\int_0^{10} h(t)\, dt = \left[-\frac{0{,}02}{4}t^4 + \frac{0{,}6}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 20t\right]_0^{10}\)
3
\(= -50 + 200 - 150 + 200 = 200\)
4
\(\bar{h} = \frac{200}{10} = 20\) Meter. Der mittlere Wasserstand in den ersten 10 Wochen beträgt 20 Meter.

Häufige Aufgabentypen

In der Matura kommen bestimmte Kontexte und Fragestellungen immer wieder vor:

Typische Kontexte für Typ-2 Aufgaben in Analysis:

  • Wachstum und Zerfall: Bevölkerungsentwicklung, radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum
  • Bewegung: Weg-Zeit-Funktionen, Geschwindigkeit, Beschleunigung
  • Wirtschaft: Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen, Grenzkosten
  • Naturwissenschaft: Temperaturverlauf, Pegelstände, Füllvorgänge

Wichtig: Bei Typ-2 Aufgaben ist die Interpretation im Kontext genauso wichtig wie die Berechnung. Formuliere deine Antworten immer als vollständige Sätze mit Einheiten.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1Mittel

Die Produktionskosten eines Betriebs werden durch \(K(x) = 0{,}5x^3 - 6x^2 + 25x + 50\) modelliert (x in 100 Stück, K in Tausend Euro). Die Grenzkosten bei einer Produktion von 400 Stück (\(x = 4\)) betragen:

Aufgabe 2Mittel

Ein Ball wird geworfen. Seine Höhe wird durch \(h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5\) beschrieben (t in Sekunden, h in Metern). Die maximale Höhe des Balls beträgt:

Aufgabe 3Schwer

Die Zuflussrate eines Beckens wird durch \(z(t) = 12t - 3t^2\) (in Liter pro Minute) modelliert, wobei der Zufluss von \(t = 0\) bis \(t = 4\) Minuten dauert. Das Gesamtvolumen, das in dieser Zeit zufließt, beträgt:

Aufgabe 4Schwer

Die Temperatur eines Getränks wird modelliert durch \(T(t) = 22 - 17 \cdot e^{-0{,}1t}\) (t in Minuten, T in °C). Nach welcher Zeit beträgt die Änderungsrate der Temperatur genau \(0{,}5\) °C pro Minute? (Runde auf ganze Minuten.)