Schema einer vollständigen Kurvendiskussion

Die Schritte im Überblick:

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Symmetrie untersuchen
  3. Nullstellen berechnen
  4. Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)
  5. Erste Ableitung: Extremwerte und Monotonie
  6. Zweite Ableitung: Wendepunkte und Krümmung
  7. Wertetabelle und Graph zeichnen

1. Definitionsbereich

Bestimme, für welche \(x\)-Werte die Funktion definiert ist.

Typische Einschränkungen:

  • Polynome: \(D = \mathbb{R}\) (immer definiert)
  • Bruchfunktionen: Nenner darf nicht 0 sein
  • Wurzelfunktionen: Radikand muss \(\geq 0\) sein
  • Logarithmus: Argument muss \(> 0\) sein

2. Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse: \(f(-x) = f(x)\) (gerade Funktion)

Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\) (ungerade Funktion)

Tipp: Polynome mit nur geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit nur ungeraden Exponenten punktsymmetrisch.

3. Nullstellen

Setze \(f(x) = 0\) und löse nach \(x\) auf. Methoden: Ausklammern, Substitution, p-q-Formel, Polynomdivision.

4. Verhalten im Unendlichen

Grenzverhalten bei Polynomen \(f(x) = a_n x^n + \ldots\):

  • \(n\) gerade, \(a_n > 0\): \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty\)
  • \(n\) gerade, \(a_n < 0\): \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty\)
  • \(n\) ungerade, \(a_n > 0\): \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
  • \(n\) ungerade, \(a_n < 0\): \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)

5. Extremwerte und Monotonie

Berechne \(f'(x)\), setze \(f'(x) = 0\), prüfe mit \(f''(x)\) oder VZW, berechne die y-Koordinaten der Extrempunkte, bestimme die Monotoniebereiche.

6. Wendepunkte und Krümmung

Berechne \(f''(x)\), setze \(f''(x) = 0\), prüfe mit \(f'''(x) \neq 0\), berechne die Koordinaten der Wendepunkte, bestimme die Krümmungsbereiche.

Vollständiges Beispiel

Kurvendiskussion von \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27\)
1
Definitionsbereich: \(D = \mathbb{R}\) (Polynom)
2
Symmetrie: \(f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 27 \neq f(x)\) und \(\neq -f(x)\). Keine Symmetrie.
3
Nullstellen: \(f(x) = 0\). Man probiert \(x = 3\): \(27 - 27 - 27 + 27 = 0\). Polynomdivision: \(f(x) = (x-3)(x^2 - 9) = (x-3)(x-3)(x+3) = (x-3)^2(x+3)\). Nullstellen: \(x_1 = 3\) (doppelt), \(x_2 = -3\)
4
Grenzverhalten: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
5
Extremwerte: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1) = 0\). Extremstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). \(f''(x) = 6x - 6\). \(f''(-1) = -12 < 0 \Rightarrow\) Maximum: \(H(-1 | 32)\). \(f''(3) = 12 > 0 \Rightarrow\) Minimum: \(T(3 | 0)\).
6
Wendepunkt: \(f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1\). \(f'''(x) = 6 \neq 0\). \(f(1) = 1 - 3 - 9 + 27 = 16\). Wendepunkt: \(W(1 | 16)\).
7
Graph: Die Funktion steigt bis \(x = -1\) (Hochpunkt bei 32), fällt dann bis \(x = 3\) (Tiefpunkt bei 0, gleichzeitig doppelte Nullstelle) und steigt danach wieder. Bei \(x = -3\) wird die x-Achse durchquert.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Was ist der erste Schritt einer Kurvendiskussion?

Aufgabe 2Leicht

Welche Symmetrie hat \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\)?

Aufgabe 3Mittel

Was ist das Grenzverhalten von \(f(x) = -2x^4 + 3x\) für \(x \to \pm\infty\)?

Aufgabe 4Schwer

Bestimme die Extrempunkte von \(f(x) = x^3 - 12x\).

Aufgabe 5Schwer

Wie viele Nullstellen hat \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27\)?