Optimierungsaufgaben - Erklärung & Beispiele

Lösungsschema

Optimierungsaufgaben löst man systematisch in fünf Schritten:

Lösungsschema für Optimierungsaufgaben:

Skizze anfertigen und Variablen einführen
Hauptbedingung aufstellen (die Größe, die optimiert werden soll)
Nebenbedingung aufstellen (die einschränkende Bedingung)
Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen (Zielfunktion mit nur einer Variable)
Zielfunktion ableiten, Nullstelle der Ableitung bestimmen und Extremum prüfen

Haupt- und Nebenbedingung

Hauptbedingung (HB): Beschreibt die Größe, die maximiert oder minimiert werden soll (z.B. Fläche, Volumen, Kosten, Gewinn).

Nebenbedingung (NB): Gibt eine Einschränkung an, die erfüllt sein muss (z.B. fester Umfang, gegebenes Material, bestimmte Summe).

Tipp: Die Hauptbedingung enthält meist zwei Variablen. Durch Einsetzen der Nebenbedingung reduziert man auf eine Variable -- so entsteht die Zielfunktion, die man ableiten kann.

Beispiel 1: Maximale Fläche

Ein Bauer möchte ein rechteckiges Feld mit 100 m Zaun einzäunen. Welche Maße ergeben die größte Fläche?

Variablen: Länge \(a\), Breite \(b\)

Hauptbedingung: \(A = a \cdot b\) (Fläche soll maximal werden)

Nebenbedingung: \(2a + 2b = 100 \Rightarrow b = 50 - a\)

Zielfunktion: \(A(a) = a \cdot (50 - a) = 50a - a^2\)

Ableitung: \(A'(a) = 50 - 2a = 0 \Rightarrow a = 25\)

Prüfung: \(A''(a) = -2 < 0 \Rightarrow\) Maximum!

Ergebnis: \(a = 25\) m, \(b = 25\) m, \(A = 625\) m². Ein Quadrat liefert die größte Fläche!

Beispiel 2: Minimales Material

Eine zylindrische Dose soll 1 Liter (= 1000 cm³) fassen. Welcher Radius minimiert den Materialverbrauch (Oberfläche)?

Variablen: Radius \(r\), Höhe \(h\)

HB (Oberfläche): \(O = 2\pi r^2 + 2\pi r h\)

NB (Volumen): \(V = \pi r^2 h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{\pi r^2}\)

Einsetzen: \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\)

Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0\)

\(4\pi r = \frac{2000}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42\) cm

Prüfung: \(O''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 \Rightarrow\) Minimum!

\(h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84\) cm. Die Höhe ist etwa doppelt so groß wie der Radius.

Randwerte beachten

Wichtig: Bei Optimierungsaufgaben muss der Definitionsbereich der Zielfunktion beachtet werden. Oft gelten Einschränkungen wie \(a > 0\) oder \(0 < a < 50\). Das globale Optimum kann auch am Rand des Definitionsbereichs liegen!

Prüfe immer: Ist die gefundene Extremstelle auch im zulässigen Bereich? Und vergleiche den Extremwert mit den Randwerten!