Monotonie bestimmen

Das Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmt, ob eine Funktion steigt oder fällt:

Monotoniekriterium:

  • \(f'(x) > 0\): Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton steigend
  • \(f'(x) < 0\): Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton fallend
  • \(f'(x) = 0\): Die Funktion hat eine waagrechte Tangente (mögliche Extremstelle)
Beispiel: Monotonie von \(f(x) = x^3 - 3x\)
1
Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\)
2
Nullstellen von \(f'\): \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\)
3
Vorzeichen prüfen: \(f'(-2) = 9 > 0\), \(f'(0) = -3 < 0\), \(f'(2) = 9 > 0\)
4
Monoton steigend für \(x < -1\) und \(x > 1\), monoton fallend für \(-1 < x < 1\)

Notwendige Bedingung für Extremstellen

Notwendige Bedingung:

\[f'(x_0) = 0\]

An einer Extremstelle muss die erste Ableitung Null sein.

Achtung: \(f'(x_0) = 0\) ist nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Nicht jede Stelle mit \(f'(x_0) = 0\) ist ein Extremum (z.B. Sattelpunkt bei \(f(x) = x^3\)).

Hinreichendes Kriterium: Vorzeichenwechsel

Ein Extremum liegt vor, wenn \(f'(x)\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt:

Vorzeichenwechselkriterium (VZW):

  • VZW von \(+\) nach \(-\): lokales Maximum (Hochpunkt)
  • VZW von \(-\) nach \(+\): lokales Minimum (Tiefpunkt)
  • Kein VZW: kein Extremum (z.B. Sattelpunkt)

Hinreichendes Kriterium: Zweite Ableitung

Kriterium mit der zweiten Ableitung:

Wenn \(f'(x_0) = 0\) und:

\(f''(x_0) < 0\): lokales Maximum (Linkskurve = Hochpunkt)

\(f''(x_0) > 0\): lokales Minimum (Rechtskurve = Tiefpunkt)

\(f''(x_0) = 0\): keine Aussage (weiteres Untersuchen nötig)

Beispiel: Extremwerte von \(f(x) = x^3 - 3x\)
1
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1\), \(x_2 = 1\)
2
\(f''(x) = 6x\)
3
\(f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -1\)
4
\(f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 1\)
5
Hochpunkt: \(H(-1 | 2)\), Tiefpunkt: \(T(1 | -2)\)

Lokale und globale Extrema

Unterschied:

  • Lokales Extremum: Höchster/tiefster Punkt in einer Umgebung
  • Globales Extremum: Höchster/tiefster Punkt im gesamten Definitionsbereich

Ein lokales Extremum muss nicht global sein. Auf einem abgeschlossenen Intervall \([a;b]\) müssen auch die Randwerte \(f(a)\) und \(f(b)\) überprüft werden.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Wenn \(f'(x) > 0\) in einem Intervall, dann ist \(f\) dort...

Aufgabe 2Mittel

Wo hat \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) ein Extremum?

Aufgabe 3Mittel

\(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) < 0\). Was liegt bei \(x_0\) vor?

Aufgabe 4Schwer

Hat \(f(x) = x^3\) bei \(x = 0\) ein Extremum?

Aufgabe 5Schwer

Bestimme die Extremwerte von \(f(x) = -x^4 + 8x^2\). Welche Aussage stimmt?