Definition
Das bestimmte Integral von \(f\) über dem Intervall \([a, b]\) wird geschrieben als:
\(a\) = untere Grenze, \(b\) = obere Grenze, \(f(x)\) = Integrand
Orientierter Flächeninhalt: Flächen oberhalb der \(x\)-Achse werden positiv gezählt, Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Das bestimmte Integral ist daher nicht automatisch der tatsächliche Flächeninhalt!
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz verbindet Integration und Differentiation und liefert die praktische Berechnungsmethode:
\(F\) ist eine beliebige Stammfunktion von \(f\).
\(\int_1^3 2x\,dx\)
Stammfunktion: \(F(x) = x^2\)
\(\Big[x^2\Big]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8\)
\(\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx\)
Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - x^2\)
\(\Big[x^3 - x^2\Big]_0^2 = (8 - 4) - (0 - 0) = 4\)
Eigenschaften des bestimmten Integrals
| Eigenschaft | Formel |
|---|---|
| Linearität | \(\int_a^b [c \cdot f(x) + g(x)]\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\) |
| Intervalladditivität | \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx\) |
| Grenzen vertauschen | \(\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\) |
| Gleiche Grenzen | \(\int_a^a f(x)\,dx = 0\) |
Zusammenhang mit dem Flächeninhalt
Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an. Liegt der Graph unter der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ.
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2\)
\(\int_{\pi}^{2\pi} \sin(x)\,dx = \Big[-\cos(x)\Big]_{\pi}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(\pi) = -1 - 1 = -2\)
Die Fläche ist in beiden Fällen 2, aber das Integral im zweiten Fall ist negativ!
Tatsächlicher Flächeninhalt: Um den tatsächlichen (positiven) Flächeninhalt zu erhalten, muss man Bereiche ober- und unterhalb der \(x\)-Achse getrennt berechnen und die Beträge addieren.
Übungen
Berechne \(\int_0^3 4x\,dx\).
Was gilt, wenn obere und untere Grenze gleich sind?
Berechne \(\int_1^4 (x^2 + 1)\,dx\).
Berechne \(\int_0^1 e^x\,dx\).
Wenn \(\int_0^5 f(x)\,dx = 7\) und \(\int_0^3 f(x)\,dx = 4\), wie groß ist \(\int_3^5 f(x)\,dx\)?