Kettenregel - Erklärung & Beispiele

Verkettung von Funktionen

Eine verkettete Funktion entsteht, wenn man eine Funktion in eine andere einsetzt. Man schreibt \(f(g(x))\) oder \((f \circ g)(x)\).

Beispiel für Verkettung:

\(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 3x + 1\)

\(f(g(x)) = (3x + 1)^2\)

Hier ist \(g(x) = 3x + 1\) die innere Funktion und \(f(x) = x^2\) die äußere Funktion.

Kettenregel:

\[\left[ f(g(x)) \right]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Äußere Ableitung (an der Stelle der inneren Funktion) mal innere Ableitung.

Merkregel: "Äußere ableiten, Inneres stehen lassen, mal innere Ableitung."

Beispiel 1: \(f(x) = (2x + 3)^5\)

Innere Funktion: \(g(x) = 2x + 3\), äußere Funktion: \(u^5\)

Äußere Ableitung: \(5u^4 = 5(2x+3)^4\)

Innere Ableitung: \(g'(x) = 2\)

Kettenregel: \(f'(x) = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4\)

Beispiel 2: \(f(x) = e^{3x^2}\)

Innere Funktion: \(g(x) = 3x^2\), äußere Funktion: \(e^u\)

Äußere Ableitung: \(e^u = e^{3x^2}\)

Innere Ableitung: \(g'(x) = 6x\)

Kettenregel: \(f'(x) = e^{3x^2} \cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2}\)

Beispiel 3: \(f(x) = \sin(x^2)\)

Innere Funktion: \(g(x) = x^2\), äußere Funktion: \(\sin(u)\)

Äußere Ableitung: \(\cos(u) = \cos(x^2)\)

Innere Ableitung: \(g'(x) = 2x\)

Kettenregel: \(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2)\)

Oft muss die Kettenregel mit der Produkt- oder Quotientenregel kombiniert werden.

Beispiel: \(f(x) = x \cdot e^{2x}\) (Produkt- und Kettenregel)

Produktregel: \(u(x) = x\), \(v(x) = e^{2x}\)

\(u'(x) = 1\), \(v'(x) = 2e^{2x}\) (Kettenregel!)

\(f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)\)