Der Differenzenquotient

Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion \(f\) zwischen zwei Punkten an. Geometrisch entspricht er der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte.

Differenzenquotient:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Dabei ist \(h = x_1 - x_0\) die Breite des Intervalls.

Beispiel: Mittlere Änderungsrate

Gegeben: \(f(x) = x^2\), gesucht: mittlere Änderungsrate im Intervall \([1; 3]\)

1
Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1\), \(f(3) = 9\)
2
Differenzenquotient: \(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4\)

Die mittlere Steigung zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\) beträgt 4.

Die h-Methode

Bei der h-Methode setzt man den Differenzenquotienten allgemein an und lässt dann \(h \to 0\) streben. Dadurch wird aus der Sekante eine Tangente.

Differentialquotient (Ableitung):

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Beispiel: h-Methode für \(f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 3\)
1
Differenzenquotient aufstellen: \(\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h}\)
2
Zähler ausmultiplizieren: \(\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h}\)
3
Kürzen: \(\frac{h(6 + h)}{h} = 6 + h\)
4
Grenzwert bilden: \(\lim_{h \to 0} (6 + h) = 6\)

Also ist \(f'(3) = 6\). Die Tangente an \(f(x) = x^2\) im Punkt \(x = 3\) hat die Steigung 6.

Allgemeine Ableitungsfunktion mit der h-Methode

Man kann die h-Methode auch für eine beliebige Stelle \(x\) durchführen und erhält so die gesamte Ableitungsfunktion \(f'(x)\).

Beispiel: Ableitungsfunktion von \(f(x) = x^3\)
1
Differenzenquotient: \(\frac{(x+h)^3 - x^3}{h}\)
2
Ausmultiplizieren: \(\frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}\)
3
Kürzen: \(\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2\)
4
Grenzwert: \(\lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2\)

Ergebnis: \(f'(x) = 3x^2\)

Tipp: Die h-Methode ist wichtig, um das Prinzip der Ableitung zu verstehen. In der Praxis verwendet man die bekannten Ableitungsregeln, um Ableitungen schneller zu berechnen.

Sekante, Tangente und Ableitung

Der Zusammenhang zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient lässt sich geometrisch so zusammenfassen:

Differenzenquotient = Steigung der Sekante = mittlere Änderungsrate

Differentialquotient = Steigung der Tangente = momentane Änderungsrate = Ableitung

Die Sekante geht durch zwei Punkte des Graphen. Wenn die beiden Punkte zusammenrücken (\(h \to 0\)), wird die Sekante zur Tangente.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Berechne den Differenzenquotienten von \(f(x) = x^2\) im Intervall \([2; 5]\).

Aufgabe 2Mittel

Was ergibt \(\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h}\)?

Aufgabe 3Mittel

Der Differenzenquotient beschreibt geometrisch die Steigung...

Aufgabe 4Schwer

Bestimme \(f'(1)\) für \(f(x) = x^3\) mit der h-Methode.

Aufgabe 5Schwer

Welche Ableitungsfunktion ergibt sich mit der h-Methode für \(f(x) = 2x^2 + 1\)?