Grundableitungen

Die drei wichtigsten trigonometrischen Ableitungen solltest du auswendig kennen:

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen:

\[(\sin x)' = \cos x\]

\[(\cos x)' = -\sin x\]

\[(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\]

Der Ableitungskreislauf:

\(\sin x \xrightarrow{\text{ableiten}} \cos x \xrightarrow{\text{ableiten}} -\sin x \xrightarrow{\text{ableiten}} -\cos x \xrightarrow{\text{ableiten}} \sin x\)

Nach vier Ableitungen ist man wieder beim Ausgangspunkt!

Ableitung von \(\sin x\)

Beispiel 1: \(f(x) = 3\sin(x)\)

\(f'(x) = 3\cos(x)\)

Der Faktor 3 bleibt erhalten (Faktorregel).

Beispiel 2: \(f(x) = \sin(2x)\) (mit Kettenregel)
1
Innere Funktion: \(g(x) = 2x\), \(g'(x) = 2\)
2
Äußere Ableitung: \(\cos(2x)\)
3
\(f'(x) = 2\cos(2x)\)

Ableitung von \(\cos x\)

Achtung: Bei der Ableitung von \(\cos x\) nicht das Minuszeichen vergessen! \((\cos x)' = -\sin x\).

Beispiel: \(f(x) = \cos(3x + \pi)\)
1
Innere Funktion: \(g(x) = 3x + \pi\), \(g'(x) = 3\)
2
Äußere Ableitung: \(-\sin(3x + \pi)\)
3
\(f'(x) = -3\sin(3x + \pi)\)

Ableitung von \(\tan x\)

Die Ableitung des Tangens kann man mit der Quotientenregel herleiten, da \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).

Herleitung:

\[(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\]

Beispiel: \(f(x) = \tan(5x)\)

Mit der Kettenregel:

\(f'(x) = \frac{5}{\cos^2(5x)}\)

Kombination mit anderen Regeln

Beispiel: \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\) (Produktregel)
1
\(u = x^2\), \(v = \sin(x)\)
2
\(u' = 2x\), \(v' = \cos(x)\)
3
\(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\)
Beispiel: \(f(x) = e^{\sin(x)}\) (Kettenregel)
1
Innere Funktion: \(\sin(x)\), innere Ableitung: \(\cos(x)\)
2
\(f'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}\)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Was ist die Ableitung von \(f(x) = \sin(x)\)?

Aufgabe 2Leicht

Was ist die Ableitung von \(f(x) = \cos(x)\)?

Aufgabe 3Mittel

Berechne die Ableitung von \(f(x) = \sin(3x)\).

Aufgabe 4Mittel

Was ist \((\tan x)'\)?

Aufgabe 5Schwer

Bestimme die Ableitung von \(f(x) = \sin^2(x)\) (also \((\sin x)^2\)).