Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\) hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich beim Ableiten nicht verändert.

Ableitung von \(e^x\):

\[\left(e^x\right)' = e^x\]

Warum ist das so besonders? Die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}718\) ist genau so definiert, dass die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ihre eigene Ableitung ist. Das macht \(e^x\) in der Analysis unverzichtbar.

Beispiel: \(f(x) = 3e^x + x^2\)

\(f'(x) = 3e^x + 2x\)

Die \(e^x\)-Funktion bleibt gleich, der konstante Faktor 3 bleibt erhalten.

Exponentialfunktion mit Kettenregel

Wenn der Exponent nicht einfach \(x\) ist, sondern eine Funktion \(g(x)\), wendet man die Kettenregel an.

Kettenregel für \(e^{g(x)}\):

\[\left(e^{g(x)}\right)' = g'(x) \cdot e^{g(x)}\]

Beispiel: \(f(x) = e^{-2x}\)

Innere Funktion: \(g(x) = -2x\), also \(g'(x) = -2\)

\(f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}\)

Ableitung allgemeiner Exponentialfunktionen

Für Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis \(a > 0\), \(a \neq 1\) gilt:

Ableitung von \(a^x\):

\[\left(a^x\right)' = a^x \cdot \ln(a)\]

Herleitung: Man schreibt \(a^x = e^{x \cdot \ln(a)}\) und wendet die Kettenregel an:

\(\left(e^{x \ln a}\right)' = \ln(a) \cdot e^{x \ln a} = \ln(a) \cdot a^x\)

Beispiel: \(f(x) = 2^x\)

\(f'(x) = 2^x \cdot \ln(2) \approx 2^x \cdot 0{,}693\)

Ableitung der Logarithmusfunktion

Ableitung von \(\ln(x)\):

\[\left(\ln(x)\right)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)\]

Kettenregel für \(\ln(g(x))\):

\[\left(\ln(g(x))\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}\]

Beispiel 1: \(f(x) = \ln(3x)\)

Innere Funktion: \(g(x) = 3x\), \(g'(x) = 3\)

\(f'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}\)

Beispiel 2: \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)

Innere Funktion: \(g(x) = x^2 + 1\), \(g'(x) = 2x\)

\(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)

Zusammenfassung

Wichtige Ableitungen im Überblick:

\(\left(e^x\right)' = e^x\)
\(\left(e^{g(x)}\right)' = g'(x) \cdot e^{g(x)}\)
\(\left(a^x\right)' = a^x \cdot \ln(a)\)
\(\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}\)
\(\left(\ln(g(x))\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}\)
\(\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}\)

Tipp: Die Formel \((a^x)' = a^x \cdot \ln a\) erklärt auch, warum \(e\) die "natürliche" Basis ist: Für \(a = e\) wird \(\ln(e) = 1\), und der Faktor verschwindet.