Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\)
Die natürlichen Zahlen sind die einfachsten Zahlen - jene, mit denen wir zählen. In Österreich beginnen die natürlichen Zahlen üblicherweise mit 1.
Manchmal wird auch die Null dazugenommen. Dann schreibt man:
\(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\)
Abgeschlossen unter: Addition und Multiplikation
Das bedeutet: Addiert oder multipliziert man zwei natürliche Zahlen, ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl.
Nicht abgeschlossen unter: Subtraktion und Division
Beispiel: \(3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}\) und \(7 : 3 \notin \mathbb{N}\)
Die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\)
Um auch negative Ergebnisse bei der Subtraktion zu ermöglichen, erweitert man \(\mathbb{N}\) um die negativen Zahlen und die Null.
Temperaturangaben verwenden ganze Zahlen:
\(-15°C\), \(0°C\), \(+28°C\) sind alles Elemente von \(\mathbb{Z}\).
Man schreibt: \(-15 \in \mathbb{Z}\) (lies: "-15 ist Element von Z")
Die ganzen Zahlen sind abgeschlossen unter Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht unter Division: \(7 : 3 \notin \mathbb{Z}\).
Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\)
Die rationalen Zahlen umfassen alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen (wobei der Nenner nicht null sein darf).
\(\frac{3}{4} = 0{,}75\) — endlicher Dezimalbruch
\(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots\) — periodischer Dezimalbruch
\(-\frac{7}{2} = -3{,}5\) — negative rationale Zahl
\(5 = \frac{5}{1}\) — jede ganze Zahl ist auch rational
Wichtige Eigenschaft: Eine Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung entweder abbricht oder periodisch ist.
Die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\)
Die reellen Zahlen umfassen alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl - sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen (wie \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\)).
Die reellen Zahlen füllen den Zahlenstrahl lückenlos aus. Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt immer eine weitere reelle Zahl.
Irrationale Zahlen wie \(\sqrt{2}\), \(\pi\) oder \(e\) haben eine nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimaldarstellung. Sie gehören zu \(\mathbb{R}\), aber nicht zu \(\mathbb{Q}\).
Mengenbeziehungen und Notation
Die Zahlenmengen sind wie russische Puppen ineinander verschachtelt:
Das Symbol \(\subset\) bedeutet "ist echte Teilmenge von". Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist auch rational, und jede rationale Zahl ist auch reell.
Wichtige Symbole:
\(a \in M\) — "a ist Element der Menge M"
\(a \notin M\) — "a ist kein Element der Menge M"
\(A \subset B\) — "A ist echte Teilmenge von B"
\(A \subseteq B\) — "A ist Teilmenge von B"
\(7 \in \mathbb{N}\), also auch \(7 \in \mathbb{Z}\), \(7 \in \mathbb{Q}\), \(7 \in \mathbb{R}\)
\(-3 \in \mathbb{Z}\), aber \(-3 \notin \mathbb{N}\)
\(\frac{2}{5} \in \mathbb{Q}\), aber \(\frac{2}{5} \notin \mathbb{Z}\)
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\), aber \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)
Übungen
Welche Aussage ist richtig?
Welche Zahl gehört zu \(\mathbb{Q}\), aber nicht zu \(\mathbb{Z}\)?
Welche Mengenbeziehung ist korrekt?
Welche Zahl ist irrational?
Welche der folgenden Zahlen ist die kleinste Zahlenmenge, zu der \(\sqrt{9}\) gehört?