Der Betrag als Abstand
\(|5| = 5\), \(|-3| = 3\), \(|0| = 0\) - der Betrag ist nie negativ
Auf der Zahlengeraden ist \(|x|\) der Abstand von \(x\) zur Null. Und \(|x - a|\) ist der Abstand von \(x\) zur Zahl \(a\): \(|x - 3|\) ist der Abstand zu 3, \(|x + 1| = |x - (-1)|\) der Abstand zu \(-1\). Mit dieser Deutung lässt sich jede Betragsungleichung ohne Rechnung lesen:
Gesucht sind alle \(x\), deren Abstand zu 3 kleiner als 2 ist. Das sind die Zahlen zwischen \(3 - 2 = 1\) und \(3 + 2 = 5\): Lösungsmenge \((1;\, 5)\). Rechnerisch: \(-2 < x - 3 < 2\), plus 3 auf allen Seiten, \(1 < x < 5\).
Fall 1: Betrag kleiner als eine Zahl
ebenso \(|T| \leq a \Leftrightarrow -a \leq T \leq a\); die Lösung ist ein zusammenhängendes Intervall
\(T\) steht für den Ausdruck im Betrag, etwa \(2x - 3\). Die Doppelungleichung löst man, indem man alle drei Teile gleich behandelt:
Probe mit einer Zahl aus dem Intervall, etwa \(x = 0\): \(|2 \cdot 0 - 3| = 3 < 5\). Und mit einer von außerhalb, \(x = 5\): \(|10 - 3| = 7\), nicht kleiner als 5. Beides passt.
Fall 2: Betrag größer als eine Zahl
ebenso \(|T| \geq a \Leftrightarrow T \leq -a\) oder \(T \geq a\); die Lösung besteht aus zwei getrennten Bereichen
Hier zerfällt die Aufgabe in zwei getrennte Ungleichungen, die beide gelöst werden. Die Lösungsmenge ist die Vereinigung der beiden Ergebnisse - das „oder" wird zum Zeichen \(\cup\).
Abstands-Deutung zur Kontrolle: \(|x + 1| = |x - (-1)|\) ist der Abstand zu \(-1\). Er soll größer als 4 sein - also \(x\) links von \(-1 - 4 = -5\) oder rechts von \(-1 + 4 = 3\). Dasselbe Ergebnis, ohne eine Zeile zu rechnen.
Kürzer geht es mit \(|4 - x| = |x - 4|\): der Abstand zu 4 soll mindestens 3 sein, also \(x \leq 1\) oder \(x \geq 7\). Das Vertauschen unter dem Betrag ist erlaubt, weil \(|{-t}| = |t|\) für jedes \(t\) gilt.
Sonderfälle: negative oder null als Schranke
Beide Regeln setzen \(a > 0\) voraus. Ist die rechte Seite null oder negativ, entscheidet allein die Tatsache, dass ein Betrag nie negativ ist:
| Ungleichung | Lösung | Grund |
|---|---|---|
| \(|x - 2| < -1\) | keine, \(\mathbb{L} = \{\}\) | ein Betrag ist nie kleiner als eine negative Zahl |
| \(|x - 2| > -1\) | alle reellen Zahlen | ein Betrag ist immer größer als eine negative Zahl |
| \(|x - 2| \leq 0\) | nur \(x = 2\) | der Betrag ist genau dann 0, wenn der Ausdruck 0 ist |
| \(|x - 2| > 0\) | alle \(x \neq 2\) | überall außer an der Stelle, wo der Ausdruck 0 wird |
Am Zahlenstrahl lesen
| Typ | Beispiel | Lösungsmenge | Bild |
|---|---|---|---|
| \(|x - a| < b\) | \(|x - 3| < 2\) | \((1;\, 5)\) | ein Stück um \(a\), Ränder offen |
| \(|x - a| \leq b\) | \(|x - 3| \leq 2\) | \([1;\, 5]\) | ein Stück um \(a\), Ränder dabei |
| \(|x - a| > b\) | \(|x - 3| > 2\) | \((-\infty;\, 1) \cup (5;\, +\infty)\) | zwei Strahlen nach außen |
| \(|x - a| \geq b\) | \(|x - 3| \geq 2\) | \((-\infty;\, 1] \cup [5;\, +\infty)\) | zwei Strahlen, Ränder dabei |
Der Mittelpunkt \(a\) und der „Radius" \(b\) legen alles fest: Die Lösung von \(|x - a| < b\) ist immer das Intervall \((a - b;\, a + b)\). Wie Intervalle geschrieben und verknüpft werden: Intervalle.
Typische Fehler
- Den zweiten Fall vergessen: \(|x| > 3\) hat nicht nur die Lösung \(x > 3\). Auch \(x = -10\) hat einen Betrag größer als 3. Das „oder \(x < -3\)" gehört immer dazu.
- Fälle vertauschen: Bei \(<\) liegt die Lösung zwischen den Grenzen (ein Intervall), bei \(>\) außerhalb (zwei Bereiche). Wer bei \(|x| < 3\) „\(x < -3\) oder \(x > 3\)" schreibt, hat genau das Gegenteil.
- Den Betrag einfach weglassen: Aus \(|2x - 3| < 5\) wird nicht \(2x - 3 < 5\). Damit fehlt die linke Schranke, und \(x = -100\) wäre fälschlich eine Lösung.
- Beim Auflösen von \(-x\) das Zeichen nicht drehen: \(-x \geq -1\) heißt \(x \leq 1\). Siehe Beispiel 4.
- Runde und eckige Klammern verwechseln: Bei \(<\) und \(>\) sind die Ränder nicht dabei (rund), bei \(\leq\) und \(\geq\) schon (eckig). Bei \(\infty\) immer rund.
Übungen
Löse: \(|x| < 7\)
Was ist die Lösungsmenge von \(|x - 3| < 2\)?
Löse: \(|x - 2| > 5\)
Löse: \(|2x + 4| \leq 10\)
Löse: \(|5 - 3x| > 6\)
Welche Lösungsmenge hat \(|x + 4| < -2\)?