Wiederholung: Was ist eine Potenz?
Eine Potenz \( a^n \) mit natürlichem Exponenten \( n \in \mathbb{N} \) ist definiert als wiederholte Multiplikation:
\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ Faktoren}} \quad (n \in \mathbb{N}, \, n \geq 1) \)
\( a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \)
In der Oberstufe erweitern wir die Definition auf negative und rationale Exponenten:
Negative Exponenten: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0) \)
Rationale Exponenten: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0) \)
Die fünf Potenzgesetze
Es gibt fünf zentrale Potenzgesetze. Sie gelten für alle \( a, b > 0 \) und \( m, n \in \mathbb{Q} \).
\( a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{m} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n} = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{m+n} = a^{m+n} \)
Beispiel: \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \)
Beispiel: \( \frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125 \)
\( (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n} = a^{\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n}} = a^{m \cdot n} \)
Beispiel: \( (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561 \)
Beispiel: \( 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 \)
Beispiel: \( \frac{6^4}{3^4} = \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \)
Negative Exponenten
Ein negativer Exponent kehrt die Basis um (bildet den Kehrwert):
\( a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n} \)
Beispiele:
- \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
- \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01 \)
- \( \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \)
Rationale Exponenten
Rationale (gebrochene) Exponenten verbinden Potenzieren und Wurzelziehen:
\( 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)
\( 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 \)
\( 27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3} \)
Tipp: Alle Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten! Damit kann man komplexe Wurzelausdrücke vereinfachen.
Zusammenfassung & Übersicht
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Basis, Multiplikation | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( x^3 \cdot x^5 = x^8 \) |
| Gleiche Basis, Division | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) | \( \frac{x^7}{x^2} = x^5 \) |
| Potenz einer Potenz | \( (a^m)^n = a^{mn} \) | \( (x^3)^2 = x^6 \) |
| Gleicher Exponent, Multiplikation | \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \) | \( 3^2 \cdot 4^2 = 12^2 \) |
| Gleicher Exponent, Division | \( \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \) | \( \frac{6^3}{2^3} = 3^3 \) |
Übungen
Vereinfache: \( 3^4 \cdot 3^{-2} \)
Berechne: \( (2^3)^2 \)
Berechne: \( 8^{\frac{2}{3}} \)
Vereinfache: \( \frac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^4} \)
Berechne: \( 27^{-\frac{2}{3}} \)