Logarithmus Definition - Erklärung & Beispiele

Definition des Logarithmus

Der Logarithmus von \( x \) zur Basis \( b \) ist derjenige Exponent \( y \), mit dem man \( b \) potenzieren muss, um \( x \) zu erhalten:

Definition

\( \log_b(x) = y \iff b^y = x \)

mit \( b > 0, \, b \neq 1, \, x > 0 \)

In Worten: „Der Logarithmus von \( x \) zur Basis \( b \) ist \( y \)" bedeutet: „\( b \) hoch \( y \) ergibt \( x \)".

Die Einschränkungen ergeben sich aus der Exponentialfunktion:

\( b > 0 \) und \( b \neq 1 \): Die Basis muss positiv und verschieden von 1 sein
\( x > 0 \): Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert

Potenzieren und Logarithmieren sind Umkehroperationen, genau wie Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division:

Drei Schreibweisen – dieselbe Aussage

Potenzform: \( 2^3 = 8 \)

Logarithmusform: \( \log_2(8) = 3 \)

Wurzelform: \( \sqrt[3]{8} = 2 \)

Diese drei Operationen sind eng miteinander verknüpft. Die Frage ist jeweils eine andere:

Aus der Definition lassen sich einige Werte direkt ablesen:

Spezielle Werte (für jede Basis \( b > 0, \, b \neq 1 \))

\( \log_b(1) = 0 \quad \) denn \( b^0 = 1 \)

\( \log_b(b) = 1 \quad \) denn \( b^1 = b \)

\( \log_b(b^n) = n \quad \) denn \( b^n = b^n \)

\( b^{\log_b(x)} = x \quad \) Umkehreigenschaft

Beispiele zum Nachrechnen

\( \log_2(1) = 0 \) denn \( 2^0 = 1 \)

\( \log_5(5) = 1 \) denn \( 5^1 = 5 \)

\( \log_3(81) = 4 \) denn \( 3^4 = 81 \)

\( \log_2(32) = 5 \) denn \( 2^5 = 32 \)

\( \log_{10}(1000) = 3 \) denn \( 10^3 = 1000 \)

\( \log_4\!\left(\frac{1}{16}\right) = -2 \) denn \( 4^{-2} = \frac{1}{16} \)

Um \( \log_b(x) \) zu berechnen, suche den Exponenten \( y \) mit \( b^y = x \):

Beispiel: \( \log_3(27) \) berechnen

Frage: \( 3^y = 27 \) – welches \( y \)?

\( 3^1 = 3, \quad 3^2 = 9, \quad 3^3 = 27 \)

Also: \( \log_3(27) = 3 \)

Beispiel: \( \log_2\!\left(\frac{1}{8}\right) \) berechnen

Frage: \( 2^y = \frac{1}{8} \)

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \)

Also: \( \log_2\!\left(\frac{1}{8}\right) = -3 \)

Tipp: Schreibe das Argument als Potenz der Basis – dann liest du den Exponenten direkt ab!