Was ist eine Exponentialgleichung?

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Exponenten steht:

Beispiele für Exponentialgleichungen:

\( 2^x = 16, \quad 5^{x+1} = 625, \quad 3 \cdot 4^x = 48, \quad e^{2x} = 7 \)

Einfache Exponentialgleichungen wie \( 2^x = 16 \) kann man durch Probieren lösen (\( x = 4 \)). Für allgemeine Gleichungen benötigt man den Logarithmus.

Lösungsmethode: Logarithmieren

Die grundlegende Strategie: Beide Seiten der Gleichung logarithmieren, dann den Exponenten „herunterholen" (Potenzregel).

Grundschema

\( b^x = c \)

\( \log(b^x) = \log(c) \)

\( x \cdot \log(b) = \log(c) \)

\( x = \frac{\log(c)}{\log(b)} \)

Tipp: Man kann mit jedem Logarithmus arbeiten (lg, ln oder beliebiger Basis). Das Ergebnis ist immer dasselbe. In der Praxis verwendet man \( \ln \) oder \( \lg \).

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1: \( 5^x = 200 \)
1
Logarithmieren: \( \ln(5^x) = \ln(200) \)
2
Potenzregel: \( x \cdot \ln(5) = \ln(200) \)
3
Auflösen: \( x = \frac{\ln(200)}{\ln(5)} = \frac{5{,}298}{1{,}609} \approx 3{,}292 \)
Beispiel 2: \( 3^{2x-1} = 81 \)
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Erkennung: \( 81 = 3^4 \), also \( 3^{2x-1} = 3^4 \)
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Exponentenvergleich: \( 2x - 1 = 4 \)
3
Lösen: \( 2x = 5 \Rightarrow x = 2{,}5 \)
Beispiel 3: \( 4 \cdot e^{3x} = 100 \)
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Isolieren: \( e^{3x} = \frac{100}{4} = 25 \)
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Logarithmieren mit \( \ln \): \( 3x = \ln(25) \)
3
Auflösen: \( x = \frac{\ln(25)}{3} = \frac{3{,}219}{3} \approx 1{,}073 \)

Wichtig: Steht vor der Potenz ein Faktor (wie \( 4 \cdot e^{3x} \)), muss man diesen zuerst isolieren (auf die andere Seite bringen), bevor man logarithmiert!

Spezialfälle & Tipps

Gleiche Basis: Wenn beide Seiten als Potenz derselben Basis geschrieben werden können, ist kein Logarithmus nötig – man vergleicht einfach die Exponenten:

\( b^{f(x)} = b^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \)

Keine Lösung: Die Gleichung \( b^x = c \) mit \( b > 0 \) hat keine Lösung, wenn \( c \leq 0 \), denn Exponentialfunktionen sind immer positiv.

Beispiel: Keine Lösung

\( 2^x = -8 \) hat keine Lösung, denn \( 2^x > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Substitution: Bei Gleichungen wie \( 4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \) hilft die Substitution \( u = 2^x \), denn \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2 \). Die Gleichung wird dann quadratisch.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Löse: \( 2^x = 64 \)

Aufgabe 2Leicht

Löse: \( 10^x = 1000 \)

Aufgabe 3Mittel

Löse: \( 3^{x+1} = 243 \). (Hinweis: \( 243 = 3^5 \))

Aufgabe 4Mittel

Löse: \( e^{2x} = 20 \). Runde auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 5Schwer

Löse: \( 5 \cdot 2^{x-1} = 40 \)