Addition und Subtraktion
Bei der Addition und Subtraktion werden Real- und Imaginärteile getrennt verrechnet:
\( (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
\( (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i \)
\( (3 + 2i) + (1 - 5i) = (3+1) + (2-5)i = 4 - 3i \)
\( (7 - i) - (4 + 3i) = (7-4) + (-1-3)i = 3 - 4i \)
Multiplikation
Die Multiplikation erfolgt durch Ausmultiplizieren und Anwenden von \( i^2 = -1 \):
\( (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
\( (2 + 3i)(4 - i) \)
\( = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( = 8 - 2i + 12i - 3i^2 \)
\( = 8 + 10i - 3 \cdot (-1) = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i \)
Konjugiert komplexe Zahl
Die konjugiert komplexe Zahl \( \overline{z} \) entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils:
Wenn \( z = a + bi \), dann \( \overline{z} = a - bi \)
\( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \)
Wichtige Eigenschaften:
- \( z + \overline{z} = 2a = 2 \cdot \text{Re}(z) \) (reell)
- \( z - \overline{z} = 2bi = 2i \cdot \text{Im}(z) \) (rein imaginär)
- \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \) (reell und nicht-negativ)
- \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \)
\( z = 3 + 4i \Rightarrow \overline{z} = 3 - 4i \)
\( z \cdot \overline{z} = (3+4i)(3-4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 = |z|^2 \)
Division
Die Division komplexer Zahlen erfolgt durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:
\( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2} \)
\( \frac{5 + i}{2 - i} = \frac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10 + 5i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{10 + 7i - 1}{5} = \frac{9 + 7i}{5} = \frac{9}{5} + \frac{7}{5}i \)
Betrag einer komplexen Zahl
Der Betrag (Absolutbetrag) einer komplexen Zahl entspricht ihrem Abstand vom Ursprung:
\( |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
Zusammenfassung
Addition/Subtraktion: komponentenweise
Multiplikation: ausmultiplizieren, \( i^2 = -1 \)
Konjugiert: \( \overline{a+bi} = a-bi \), \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \)
Division: Nenner mit Konjugiertem erweitern
Betrag: \( |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} \)
Übungen
Berechne \( (2 + 3i) + (5 - i) \).
Berechne \( (1 + i)(1 - i) \).
Berechne \( (3 - 2i)^2 \).
Berechne \( |5 - 12i| \).
Berechne \( \frac{3 + 4i}{1 - 2i} \).