Definition der imaginären Einheit
Die imaginäre Einheit \( i \) ist definiert durch:
\( i^2 = -1 \quad \text{bzw.} \quad i = \sqrt{-1} \)
In den reellen Zahlen gibt es keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. Die imaginäre Einheit \( i \) schließt diese Lücke.
Hinweis: In der Elektrotechnik wird statt \( i \) oft \( j \) verwendet, da \( i \) dort für die Stromstärke steht.
Potenzen von i
Die Potenzen von \( i \) wiederholen sich mit der Periode 4:
\( i^0 = 1 \)
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 \)
Merkregel: Um \( i^n \) zu berechnen, bestimme den Rest bei Division von \( n \) durch 4:
- Rest 0: \( i^n = 1 \)
- Rest 1: \( i^n = i \)
- Rest 2: \( i^n = -1 \)
- Rest 3: \( i^n = -i \)
\( i^{23} = \;? \)
\( 23 = 4 \cdot 5 + 3 \), also Rest 3.
\( i^{23} = i^3 = -i \)
Die komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl \( z \) ist eine Zahl der Form:
\( z = a + bi \)
mit \( a, b \in \mathbb{R} \)
\( a = \text{Re}(z) \) heißt Realteil
\( b = \text{Im}(z) \) heißt Imaginärteil
\( z_1 = 3 + 2i \): Realteil 3, Imaginärteil 2
\( z_2 = -1 - 4i \): Realteil \(-1\), Imaginärteil \(-4\)
\( z_3 = 5i \): Realteil 0, Imaginärteil 5 (rein imaginär)
\( z_4 = 7 \): Realteil 7, Imaginärteil 0 (reelle Zahl)
Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen:
\( a + bi = c + di \quad \Leftrightarrow \quad a = c \text{ und } b = d \)
Wurzeln aus negativen Zahlen
Mit der imaginären Einheit können wir nun Wurzeln aus negativen Zahlen berechnen:
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i \quad \text{für } a > 0 \)
\( \sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot i = 3i \)
\( \sqrt{-25} = \sqrt{25} \cdot i = 5i \)
\( \sqrt{-7} = \sqrt{7} \cdot i \approx 2{,}646i \)
Achtung: Die Regel \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) gilt nicht für negative Zahlen! Es ist \( \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1 \neq \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 \).
Zusammenfassung
\( i^2 = -1 \), Potenzen von \( i \) wiederholen sich mit Periode 4
Komplexe Zahl: \( z = a + bi \) mit Realteil \( a \) und Imaginärteil \( b \)
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i \) für \( a > 0 \)
Zahlenbereiche: \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
Übungen
Was ist \( i^4 \)?
Bestimme Real- und Imaginärteil von \( z = -3 + 7i \).
Berechne \( \sqrt{-49} \).
Berechne \( i^{50} \).
Löse die Gleichung \( x^2 + 4 = 0 \) in \( \mathbb{C} \).