Äquivalenzumformungen

Das Waagemodell

Eine Gleichung ist wie eine Balkenwaage im Gleichgewicht: Links liegt \(x + 3\), rechts liegt 8, und beide Seiten sind gleich schwer. Nimmt man links 3 weg, kippt die Waage - außer man nimmt rechts ebenfalls 3 weg. Dann bleibt sie im Gleichgewicht, und links liegt nur noch \(x\), rechts 5. Das ist die ganze Idee: Was auf der einen Seite geschieht, muss auch auf der anderen Seite geschehen.

Das Modell hat Grenzen. Negative Zahlen lassen sich auf eine Waage schlecht legen, und für das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten braucht man schon viel Vorstellungskraft. Für den Anfang reicht es aber, und die Regel, die daraus folgt, gilt immer.

Die erlaubten Umformungen

Eine Umformung heißt Äquivalenzumformung, wenn die neue Gleichung dieselbe Lösungsmenge hat wie die alte. „Äquivalent" bedeutet gleichwertig. Das ist genau dann der Fall, wenn sich die Umformung rückgängig machen lässt: Addiert man 7, kann man wieder 7 subtrahieren; multipliziert man mit 4, kann man wieder durch 4 dividieren.

Statt einer Zahl darf auch ein Term mit \(x\) addiert oder subtrahiert werden - das braucht man, wenn \(x\) auf beiden Seiten vorkommt. Multiplizieren und Dividieren mit einem Term, der 0 werden könnte, ist dagegen heikel, weil dabei Lösungen verschwinden oder dazukommen können.

So wird es angeschrieben

Hinter die Gleichung kommt ein senkrechter Strich, dahinter die Umformung, die als Nächstes auf beide Seiten angewendet wird. In der nächsten Zeile steht das Ergebnis. So entsteht eine Kette von Gleichungen, die immer einfacher werden:

Der Strich ist kein Rechenzeichen, sondern ein Protokoll: Er sagt, was mit beiden Seiten passiert. Ohne diese Notiz lässt sich eine längere Rechnung nicht mehr nachvollziehen, weder von der Lehrkraft noch von einem selbst eine Woche später.

Drei weitere Beispiele

Hier wurde \(2x\) subtrahiert statt \(4x\), damit der \(x\)-Term positiv bleibt. Beides wäre richtig, aber mit \(-2x = -8\) müsste man am Ende noch durch \(-2\) dividieren, und dabei passieren Vorzeichenfehler.

Die Reihenfolge ist kein Zufall: Zuerst werden die Zahlen entfernt, die addiert oder subtrahiert sind, dann die Faktoren und Divisoren. Wer in Beispiel 4 zuerst mit 3 multipliziert, muss auch die 2 und die 5 verdreifachen (\(x + 6 = 15\)) - richtig, aber umständlicher.

Die Probe

Die Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt, nicht in eine der umgeformten. Stimmen beide Seiten überein, ist die Lösung richtig. Eigentlich wäre die Probe bei lauter Äquivalenzumformungen überflüssig, weil sich jeder Schritt rückgängig machen lässt - in der Praxis fängt sie Rechenfehler ab, die sonst unbemerkt bleiben. Bei Beispiel 3 zeigt die Probe mit \(x = 4\) statt \(-4\) sofort, dass etwas nicht stimmt: \(2 \cdot (4 - 3) = 2\), aber \(4 \cdot 4 + 2 = 18\).

Was keine Äquivalenzumformung ist

• Mit 0 multiplizieren. Aus \(x = 5\) wird \(0 = 0\) - eine wahre Aussage, die für jedes \(x\) gilt. Die Lösung ist weg. Die Umkehrung, durch 0 dividieren, gibt es nicht.
• Quadrieren. Aus \(x = 3\) wird \(x^2 = 9\), und die hat auch die Lösung \(-3\). Die neue Gleichung hat mehr Lösungen als die alte. Bei Wurzelgleichungen muss man trotzdem quadrieren; dort ist die Probe deshalb Pflicht und keine Kontrolle. Die Gleichung \(\sqrt{x} + 3 = 0\) führt durch Umformen auf \(x = 9\), aber \(\sqrt{9} + 3 = 6 \neq 0\): Sie hat gar keine Lösung.
• Durch einen Term dividieren, der 0 sein kann. Wer \(x \cdot (x - 3) = 0\) durch \(x\) dividiert, erhält \(x - 3 = 0\) und verliert die Lösung \(x = 0\). Das wird in der 5. Klasse bei den quadratischen Gleichungen wichtig.

Keine Lösung oder unendlich viele

Manchmal verschwindet \(x\) beim Umformen ganz. Dann entscheidet die übrig gebliebene Aussage:

Beides sind keine Rechenfehler, sondern Ergebnisse. Mehr dazu bei der Lösungsmenge.

Umkehren von Rechenoperationen und Äquivalenzumformungen

Der Lehrplan führt in zwei Stufen an das Thema heran. In der 2. Klasse werden lineare Gleichungen „durch Umkehren von Rechenoperationen" gelöst: Bei \(x \cdot 4 = 20\) fragt man, welche Zahl mal 4 gleich 20 ergibt, und rechnet \(20 : 4\). In der 3. Klasse heißt es dann „Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen". Das ist dieselbe Idee, nur konsequent für beide Seiten aufgeschrieben: \(4x = 20 \;|\; :4\). Der Unterschied zeigt sich, sobald \(x\) auf beiden Seiten steht oder Klammern vorkommen - dort reicht das Umkehren im Kopf nicht mehr, das Protokoll mit dem Strich schon. Für die Matura setzt die Grundkompetenz AG 2.2 voraus, dass lineare Gleichungen auf diese Weise umgeformt und gelöst werden können.

Die häufigsten Fehler

• Nur auf einer Seite umgeformt: \(x + 7 = 12\) wird zu \(x = 12\), weil die 7 „einfach weggelassen" wurde. Sie muss rechts subtrahiert werden: \(x = 5\).
• Vorzeichen beim Seitenwechsel: Aus \(3x - 5 = 16\) wird \(3x = 16 - 5\). Richtig ist \(+5\) auf beiden Seiten: \(3x = 21\).
• Nur ein Glied dividiert: \(3x + 6 = 12 \;|\; :3\) ergibt \(x + 2 = 4\), nicht \(x + 6 = 4\). Die Division trifft jedes Glied auf beiden Seiten.
• Klammer vergessen: \(2(x - 3)\) ist \(2x - 6\), nicht \(2x - 3\).
• Probe in der falschen Gleichung: Wer in \(4x = 8\) einsetzt, prüft nur den letzten Schritt. Die Probe gehört in die Ausgangsgleichung.
• Strich weggelassen: Ohne Protokoll fällt nicht auf, wenn zwischen zwei Zeilen zwei Umformungen auf einmal passiert sind - und genau dort verstecken sich die Fehler.