Endliche geometrische Reihe

Die Summe der ersten \( n \) Glieder einer geometrischen Folge \( a_1, a_1 q, a_1 q^2, \ldots \) lautet:

Summenformel
\( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1) \)
Herleitung

\( S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} \)

Multipliziere mit \( q \): \( q \cdot S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^n \)

Subtrahiere: \( S_n - q \cdot S_n = a_1 - a_1 q^n \)

\( S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n) \)

\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \)

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

Berechne \( S_6 \) der Folge \( 2, 6, 18, 54, \ldots \)

1
\( a_1 = 2, \, q = 3, \, n = 6 \)
2
\( S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 728 \)
Beispiel 2

Berechne \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \)

1
\( a_1 = 1, \, q = \frac{1}{2}, \, n = 5 \)
2
\( S_5 = 1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 - 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{32} - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = \frac{31}{16} = 1{,}9375 \)

Unendliche geometrische Reihe

Wenn \( |q| < 1 \), dann wird \( q^n \) für \( n \to \infty \) beliebig klein (geht gegen 0). Die unendliche Summe existiert und ist endlich:

Unendliche geometrische Reihe
\( S_\infty = \sum_{k=0}^{\infty} a_1 \cdot q^k = \frac{a_1}{1 - q} \quad \text{für } |q| < 1 \)

Konvergenz: Die Reihe konvergiert nur für \( |q| < 1 \). Für \( |q| \geq 1 \) divergiert sie.

Beispiel: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \)

\( a_1 = 1, \, q = \frac{1}{2} \)

\( S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \)

Die unendliche Summe aller Potenzen von \( \frac{1}{2} \) ergibt genau 2!

Beispiel: Periodische Dezimalzahl

\( 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots \)

Geometrische Reihe mit \( a_1 = \frac{3}{10}, \, q = \frac{1}{10} \):

\( S_\infty = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

Anwendungen

Geometrische Reihen treten in vielen praktischen Situationen auf:

  • Zinseszins: Die Summe aller eingezahlten Beträge mit Zinsen
  • Halbwertszeit: Verbleibende Substanzmenge nach mehreren Zerfallsperioden
  • Periodische Dezimalzahlen: Umwandlung in Brüche
  • Fraktale: Sierpinski-Dreieck, Koch-Schneeflocke

Tipp: Immer zuerst prüfen, ob \( |q| < 1 \) gilt -- nur dann existiert die unendliche Summe!

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Berechne \( S_4 \) der geometrischen Reihe mit \( a_1 = 3 \) und \( q = 2 \).

Aufgabe 2Mittel

Berechne die unendliche Summe: \( 10 + 5 + 2{,}5 + 1{,}25 + \cdots \)

Aufgabe 3Mittel

Konvergiert die Reihe \( 4 + 6 + 9 + 13{,}5 + \cdots \)?

Aufgabe 4Schwer

Welchen Bruch stellt \( 0{,}\overline{6} = 0{,}666\ldots \) dar? (Verwende die geometrische Reihe.)