Konvergenz und Divergenz
Eine Folge \( (a_n) \) konvergiert gegen einen Grenzwert \( g \), wenn sich die Glieder für wachsendes \( n \) dem Wert \( g \) beliebig annähern:
Konvergent: Die Folge nähert sich einem festen Wert an. Beispiel: \( a_n = \frac{1}{n} \to 0 \)
Divergent: Die Folge hat keinen Grenzwert. Beispiel: \( a_n = n \to \infty \)
Bestimmt divergent: \( a_n \to +\infty \) oder \( a_n \to -\infty \)
Unbestimmt divergent: \( a_n = (-1)^n \) springt hin und her
\( a_n = \frac{1}{n}: \quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \to 0 \) (konvergent)
\( a_n = \frac{n}{n+1}: \quad \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots \to 1 \) (konvergent)
\( a_n = 2^n: \quad 2, 4, 8, 16, \ldots \to \infty \) (divergent)
Grenzwertsätze
Wenn \( \lim a_n = a \) und \( \lim b_n = b \), dann gelten:
\( \lim(a_n + b_n) = a + b \)
\( \lim(a_n - b_n) = a - b \)
\( \lim(a_n \cdot b_n) = a \cdot b \)
\( \lim\frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0) \)
\( \lim(c \cdot a_n) = c \cdot a \)
Wichtige Standardgrenzwerte:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \) für alle \( k > 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \) für \( |q| < 1 \)
\( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \) für \( a > 0 \)
Grenzwerte rationaler Folgen
Bei Brüchen aus Polynomen teilt man Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von \( n \):
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n}{5n^2 - 1} \)
Teile durch \( n^2 \): \( \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{5 - \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5} \)
Faustregel für Polynombrüche \( \frac{a_m n^m + \cdots}{b_k n^k + \cdots} \):
Grad Zähler = Grad Nenner (\( m = k \)): Grenzwert = \( \frac{a_m}{b_k} \) (Koeffizientenquotient)
Grad Zähler < Grad Nenner (\( m < k \)): Grenzwert = \( 0 \)
Grad Zähler > Grad Nenner (\( m > k \)): divergiert
Die Eulersche Zahl \( e \)
Die berühmte Zahl \( e \) ist als Grenzwert einer Folge definiert:
\( n = 1: \quad \left(1 + 1\right)^1 = 2 \)
\( n = 10: \quad \left(1{,}1\right)^{10} \approx 2{,}5937 \)
\( n = 100: \quad \left(1{,}01\right)^{100} \approx 2{,}7048 \)
\( n = 1000: \quad \left(1{,}001\right)^{1000} \approx 2{,}7169 \)
\( n \to \infty: \quad e \approx 2{,}71828 \)
Bedeutung: Die Zahl \( e \) ist die Basis des natürlichen Logarithmus und die einzige Zahl, für die \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \) gilt. Sie tritt bei stetigem Wachstum und Zinseszins auf.
Übungen
Bestimme: \( \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n} \)
Bestimme: \( \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 3}{2n - 1} \)
Bestimme: \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} \)
Konvergiert oder divergiert \( a_n = \frac{n^3 - 2n}{3n^3 + n^2} \)?
Bestimme: \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5}{n^3 - n} \)