Was ist eine Folge?
Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl \( n \) genau eine reelle Zahl \( a_n \) zuordnet. Die Zahlen heißen Glieder der Folge.
\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots \)
\( a_n \) heißt das \( n \)-te Glied (allgemeines Glied)
\( 1, 4, 9, 16, 25, \ldots \) -- die Folge der Quadratzahlen: \( a_n = n^2 \)
\( 2, 4, 6, 8, 10, \ldots \) -- die geraden Zahlen: \( a_n = 2n \)
\( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \) -- die harmonische Folge: \( a_n = \frac{1}{n} \)
Explizite Definition
Bei der expliziten Definition wird das \( n \)-te Glied direkt als Formel in Abhängigkeit von \( n \) angegeben. Man kann damit jedes Glied sofort berechnen, ohne die vorherigen zu kennen.
Explizite Darstellung: \( a_n = f(n) \) – eine Formel, die nur von \( n \) abhängt.
\( a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \)
\( a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7 \)
\( a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10 \)
\( a_{100} = 3 \cdot 100 + 1 = 301 \) -- direkt berechenbar!
Rekursive Definition
Bei der rekursiven Definition wird jedes Glied aus dem vorherigen (oder den vorherigen) berechnet. Man benötigt einen Startwert und eine Bildungsvorschrift.
Rekursive Darstellung: \( a_1 = \text{Startwert} \) und \( a_{n+1} = g(a_n) \)
\( a_1 = 2, \quad a_{n+1} = a_n + 5 \)
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = a_1 + 5 = 2 + 5 = 7 \)
\( a_3 = a_2 + 5 = 7 + 5 = 12 \)
\( a_4 = a_3 + 5 = 12 + 5 = 17 \)
Die explizite Formel wäre: \( a_n = 2 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 3 \)
Berühmte rekursive Folge: Die Fibonacci-Folge \( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots \) mit \( a_1 = a_2 = 1 \) und \( a_{n+2} = a_n + a_{n+1} \). Jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen.
Eigenschaften von Folgen
Folgen können bestimmte Eigenschaften haben:
| Eigenschaft | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| monoton steigend | \( a_{n+1} \geq a_n \) für alle \( n \) | \( 1, 2, 3, 4, \ldots \) |
| monoton fallend | \( a_{n+1} \leq a_n \) für alle \( n \) | \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \) |
| beschränkt | alle Glieder in einem Intervall | \( \frac{1}{n} \) ist nach unten durch 0 beschränkt |
| alternierend | Vorzeichen wechselt | \( 1, -1, 1, -1, \ldots \) mit \( a_n = (-1)^{n+1} \) |
Übungen
Gegeben: \( a_n = 2n - 1 \). Berechne \( a_5 \).
Die Folge \( 3, 7, 11, 15, 19, \ldots \) ist gegeben. Wie lautet das allgemeine Glied \( a_n \)?
Gegeben: \( a_1 = 3, \, a_{n+1} = 2 \cdot a_n \). Berechne \( a_4 \).
Welche Eigenschaft hat die Folge \( a_n = \frac{n}{n+1} \)?